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2018-02-14

泰勒公式 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x。)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x。)+f'(x。 )(x-x。)+f''(x。)/2!•(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!•(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!•(x-x。)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x。 )^(n+1),这里ξ在x和x。之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。） 证...全部

  泰勒公式 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x。)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x。)+f'(x。  )(x-x。)+f''(x。)/2!•(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!•(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!•(x-x。)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x。  )^(n+1),这里ξ在x和x。之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x。)+f'(x。  )(x-x。)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x。+Δx)-f(x。)=f'(x。)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x。的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x。  )+A2(x-x。)^2+……+An(x-x。)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x。)=f(x。),P'(x。)=f'(x。  ),P''(x。)=f''(x。),……,P(n)(x。)=f(n)(x。),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x。)=A0,所以A0=f(x。)；P'(x。)=A1,A1=f'(x。  )；P''(x。)=2!A2,A2=f''(x。)/2!……P(n)(x。)=n!An,An=f(n)(x。)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。  )+f''(x。)/2!•(x-x。)^2+……+f(n)(x。)/n!•(x-x。)^n。 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x。  )=f(x。)-P(x。)=0。所以可以得出Rn(x。)=Rn'(x。)=Rn''(x。)=……=Rn(n)(x。)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x。)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x。  )/(x-x。)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x。)^n(注：(x。-x。)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x。之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x。  )/(n+1)(ξ1-x。)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x。)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x。之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x。)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x。  和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。  综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x。)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),这里0   证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x。=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1) 由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0   麦克劳林展开式的应用： 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 于是得出了周期规律。  分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。  ） 类似地，可以展开y=cosx。 2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项： e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈2。  7182818。 3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位） 证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。  过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。  然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。 泰勒 (2004-02-06) 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。  1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。   最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。 泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。  他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。   泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。  他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。 1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。  他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。 。收起