. 

. 

. 

. 

泰勒公式在证明不等式中的几个应用

摘

要：

泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起

着很重要的作用。特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构

造、

转化、

放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。

本文主要通过对各类典型不等

式证明问题的分析处理，

归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、

含有初等函数与

幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、

证明与应用

. 

关键词

：泰勒公式；偏导数；不等式

引言

泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式

的重点就在于使用一个

n

次多项式

(

)

n

p

x

,

去逼近一个已知的函数





f

x

，而且这种逼近有

很好的性质：

(

)

n

p

x

与





f

x

在

x

点具有相同的直到阶

n

的导数

]

3

1

[



.

所以泰勒公式能很好的

集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，

一般很难接受，

更不用说应用了。

但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、

计算应用等方面，

它都起着很重要的作用

.

文献

[3-6]

介绍了运用泰勒公式，

对不等式问题进行分析、

构造、

转

化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想

.

本文拟在前面文献研究的基础上通

过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法

.        

1 

泰勒公式知识的回顾：

定理

1

[1]

设函数





f

x

在点

0

x

处的某邻域内具有

1

n



阶导数，

则对该邻域内异于

0

x

的任意

点

x

，在

0

x

与

x

之间至少存在一点



，使得：





f

x

=





0

f

x

+





0

'

f

x

0

(x

-

x

)

+

