教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式.

教学重点：泰勒中值定理.

教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用.

教学内容：

对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数.

    在微分的应用中已经知道, 当很小时, 有如下的近似等式:

, 

这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于的高阶无穷小; 其次是用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式.

设函数在含有的开区间内具有直到阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关于的次多项式

来近似表达, 要求与f(x)之差是比高阶的无穷小, 并给出误差的具体表达式.

    我们自然希望与在的各阶导数(直到阶导数)相等, 这样就有

……,

于是, , , ,…, .

按要求有, ,

, , × × × × ×,

从而有, , ,

, …… ,，

即 ().

于是就有

.

定理 （泰勒中值定理）  如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数, 则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即

其中(介于与之间).

证明：由假设,在内具有直到阶导数,且

两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得(介于与之间)

两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得(介于与之间), 此下去,经过次后,得 所以

则由上式得(介于与之间). 证毕

说明：

1．这里多项式.

称为函数按的幂展开的次近似多项式, 公式

2．

称为按的幂展开的阶泰勒公式, 而R n(x)的表达式

3．(介于与之间)称为拉格朗日型余项.

4．当时, 泰勒公式变成(介于与之间)―拉格朗日中值公式, 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.

5．如果对于某个固定的, 当在区间内变动时, 总不超过一个常数M, 则有估计式及

.

可见, 当时, 误差是比高阶的无穷小, 即

,该余项称为皮亚诺形式的余项.

6．在不需要余项的精确表达式时, 阶泰勒公式也可写成

7．当时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式, 就是

或

其中

.

8．由此得近似计算公式.

误差估计式变为.

例3-16  求的阶麦克劳林公式

解 由于

所以

而 代入公式,得

由公式可知

估计误差: 设

取, 其误差   

例3-17求的阶麦克劳林公式.

    解: 因为,

所以

于是 .

当时, 有近似公式

,  ,  .

例3-18  计算 .

解 由于    

所以

故 原式=

常用函数的麦克劳林公式