泰勒中值定理

如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在含有 x 0 x_0 x0​的某个开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内具有直到 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)阶的导数，则对任一 x ∈ ( a , b ) x \in (a,b) x∈(a,b)，有

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) , f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x),

公式(1)： f ( x ) f(x) f(x)按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0​)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式

假设

P n ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n , P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n, Pn​(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n,

公式(2)：此关于 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0​)的 n n n次多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn​(x)称为 f ( x ) f(x) f(x)按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0​)的幂展开的n次泰勒多项式

则有

f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) , f(x)=P_n(x)+R_n(x), f(x)=Pn​(x)+Rn​(x),

其中

R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 ， 其 中 ， ξ 为 x 0 和 x 之 间 的 某 个 值 . R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，其中，\xi为x_0和x之间的某个值. Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1，其中，ξ为x0​和x之间的某个值.

公式(3)：此 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)的表达式称为拉格朗日型余项

性质描述

第1点：泰勒中值定理和拉格朗日中值定理之间的联系

当 n = 0 n=0 n=0时，泰勒公式会变成拉格朗日中值公式： f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( ξ ) ( x − x 0 ) f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0) f(x)=f(x0​)+f′(ξ)(x−x0​)，其中， ξ \xi ξ在 x 0 x_0 x0​与 x x x之间。因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。

拉格朗日中值定理

如果函数 f ( x ) f(x) f(x)满足：（1）在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续；（2）在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导，那么在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少有一点 ξ ( a ; ξ ; b ) \xi(a;\xi;b) ξ(a