在物理科学和电气工程学中，色散关系描述波在介质中传播的色散现象的性质。色散关系将波的波长或波数与其频率建立了联系。

当不同波长的平面波表现出不同的传播速度时，色散会发生，如此造成混合各种波长的波包渐渐地在空间中扩展开来。平面波的速率v为波长 λ \lambda λ的函数：v = v( λ \lambda λ)。 波速、波长、频率f之间具有恒等式： v( λ \lambda λ) = λ \lambda λ f( λ \lambda λ)。 函数f( λ \lambda λ)指出了该介质中的色散关系。色散关系更常用角频率 ω \omega ω = 2 π \pi πf与波数k = 2 π \pi π/ λ \lambda λ来表示。上述式子可改写为 ω \omega ω(k) = v(k) k。 在此 ω \omega ω成为k的函数。使用 ω \omega ω(k)来描述色散关系已经成为一种标准写法，因为相速度 ω \omega ω/k 与群速度 ∂ ω \omega ω/∂k 可以轻松地从这样写法的色散关系中求得。

因此所关注的平面波可写为如下数学式：

其中 A是波的振幅， A0 = A(0,0)， x是波传递方向上的任一特定位置，以及 t是描述波的任一特定时间。

当讨论到介质的折射性质而不是吸收性质，亦即关注焦点为折射率的实部，则常会提及“色散关系”—角频率与波数的函数关系。在粒子的情形，改由相对应的能量与动量的函数关系来描述。

粒子的总能量、动量与质量透过如下相对论关系连结： 其中m是静质量。 当静质量m为零时，比如光子的例子： 又静质量不为零的粒子，当其接近光速时，pc项远大于 m c 2 mc^2 mc2项，因此关系式可趋近于E = pc。其在非相对论极限，也就是速度远小于光速c的情形，可趋近于如下关系式： 此情形下， m c 2 mc^2 mc2是常数，而 p 2 p^2 p2/2m是常见的动能，可以动量p=mv来写出关系式。 从近光速的例子过渡到低速度极限，可看到E与p的关系是从p转成 p 2 p^2 p2，在垂直轴跟水平轴皆取对数log的色散关系图中可看出斜率的改变。 基本粒子、原子核、原子，甚至是分子，皆有物质波的波动表现。根据描述物质波的“德布罗意关系”，能量E与角频率ω之间以及动量p与波数k之间皆为正比关系，比值为约化普朗克常数ħ： 相应地，角频率与波数之间也可透过色散关系连结。在非相对论极限（低速度极限的牛顿力学）条件下，利用能量（动能）与动量的关系式： 此处省去常数 m c 2 mc^2 mc2的效应。等式左右分别代入德布罗意关系，可得色散关系：

原文地址：https://zh.wikipedia.org/wiki/色散关系 参考文献：https://www.zhihu.com/question/58252640