坐标系定义：原点在静水面(SWL)，Z轴向上为正，海底为-h，X轴取波浪传播方向为正。 波浪自由表面： η = H 2 c o s ( k x − σ t ) \eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t) η=2H​cos(kx−σt)

{ G . D . E : ∇ 2 Φ = ∂ 2 Φ ∂ x 2 + ∂ 2 Φ ∂ z 2 = 0 ,    ( − h ≤ z ≤ η ,   − ∞ ≤ x ≤ + ∞ ) B . B . C : ∂ Φ ∂ z = 0 ,   ( z = − h ) D . F . S . B . C : η = − 1 g ∂ Φ ∂ t , ( z = 0 ) K . F . S . B . C : ∂ η ∂ t = ∂ Φ ∂ z , ( z = 0 ) L . B . C : Φ ( x , z , t ) = Φ ( x − c t , z ) \begin{cases} G.D.E: &\nabla^2\Phi=\frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0, \ \ (-h\le z\le\eta,\ -\infty\le x\le+\infty)\\\\ B.B.C: &\frac {\partial\Phi} {\partial z}=0,\ (z=-h)\\\\ D.F.S.B.C:&{\eta=-\frac 1 g \frac {\partial\Phi} {\partial t}, (z=0)}\\\\ K.F.S.B.C:&\frac {\partial\eta} {\partial t}=\frac {\partial\Phi} {\partial z}, (z=0)\\\\ L.B.C:&\Phi(x,z,t)=\Phi(x-ct,z) \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​G.D.E:B.B.C:D.F.S.B.C:K.F.S.B.C:L.B.C:​∇2Φ=∂x2∂2Φ​+∂z2∂2Φ​=0,  (−h≤z≤η, −∞≤x≤+∞)∂z∂Φ​=0, (z=−h)η=−g1​∂t∂Φ​,(z=0)∂t∂η​=∂z∂Φ​,(z=0)Φ(x,z,t)=Φ(x−ct,z)​ 由D.F.S.B.C可知 η \eta η和速度势函数 Φ \Phi Φ在时间上的导数呈线性关系，不妨设 Φ = f ( z ) s i n ( k x − σ t ) \Phi=f(z)sin(kx-\sigma t) Φ=f(z)sin(kx−σt)，只要根据控制方程和边界条件求解 f ( z ) f(z) f(z)，即可知道波浪的运动特性。

根据微幅波控制方程(G.D.E): ∂ 2 Φ ∂ x 2 + ∂ 2 Φ ∂ z 2 = 0 \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0 ∂x2∂2Φ​+∂z2∂2Φ​=0 有： { ∂ Φ ∂ x = f ( z ) k c o s ( k x − σ t ) ∂ Φ ∂ z = f ′ ( z ) s i n ( k x − σ t ) \begin{cases} \frac {\partial \Phi} {\partial x} = f(z)kcos(kx-\sigma t)\\\\ \frac {\partial \Phi} {\partial z} = f'(z)sin(kx-\sigma t) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​∂x∂Φ​=f(z)kcos(kx−σt)∂z∂Φ​=f′(z)sin(kx−σt)​ { ∂ 2 Φ ∂ x 2 = − f ( z ) k 2 s i n ( k x − σ t ) ∂ 2 Φ ∂ z 2 = f ′ ′ ( z ) s i n ( k x − σ t ) \begin{cases} \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2}= -f(z)k^2sin(kx-\sigma t)\\\\ \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2} = f''(z)sin(kx-\sigma t) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​∂x2∂2Φ​=−f(z)k2sin(kx−σt)∂z2∂2Φ​=f′′(z)sin(kx−σt)​ 式（12）则化为： ∂ 2 Φ ∂ x 2 + ∂ 2 Φ ∂ z 2 = 0 \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0 ∂x2∂2Φ​+∂z2∂2Φ​=0 f ′ ′ ( z ) s i n ( k x − σ t ) − f ( z ) k 2 s i n ( k x − σ t ) = 0 f''(z)sin(kx-\sigma t)-f(z)k^2sin(kx-\sigma t)=0 f′′(z)sin(kx−σt)−f(z)k2sin(kx−σt)=0 化简： [ f ′ ′ ( z ) − k 2 f ( z ) ] s i n ( k x − σ t ) = 0 [f''(z)-k^2f(z)]sin(kx-\sigma t)=0 [f′′(z)−k2f(z)]sin(kx−σt)=0其中 s i n ( k x − σ t ) sin(kx-\sigma t) sin(kx−σt)不恒为0，则要求 [ f ′ ′ ( z ) − k 2 f ( z ) ] [f''(z)-k^2f(z)] [f′′(z)−k2f(z)]恒为0。 [ f ′ ′ ( z ) − k 2 f ( z ) ] = 0 (1) [f''(z)-k^2f(z)]=0\tag{1} [f′′(z)−k2f(z)]=0(1) 这里涉及到求解常系数齐次线性微分方程，方法见我的另一篇帖子。 方程（1）的特征方程为 r 2 − k 2 = 0 r^2-k^2=0 r2−k2=0，因此通解的结构为 f ( z ) = A e k z + B e − k z (2) f(z)=Ae^{kz}+Be^{-kz}\tag{2} f(z)=Aekz+Be−kz(2) 速度势函数则为 Φ = ( A e k z + B e − k z ) s i n ( k x − σ t ) (3) \Phi=(Ae^{kz}+Be^{-kz})sin(kx-\sigma t)\tag{3} Φ=(Aekz+Be−kz)sin(kx−σt)(3)  

根据底部边界条件(B.B.C)： ∂ Φ ∂ z = 0 ,   ( z = − h ) \frac {\partial\Phi} {\partial z}=0,\ (z=-h) ∂z∂Φ​=0, (z=−h) 有 ∂ Φ ∂ z = ( A k e k z − B k e − k z ) s i n ( k x − σ t ) = 0 ,   ( w h e n   z = − h ) \frac {\partial\Phi} {\partial z}=(Ake^{kz}-Bke^{-kz})sin(kx-\sigma t)=0,\ (when\ z=-h) ∂z∂Φ​=(Akekz−Bke−kz)sin(kx−σt)=0, (when z=−h) 其中 s i n ( k x − σ t ) sin(kx-\sigma t) sin(kx−σt)不恒为0，所以 ( A k e k z − B k e − k z ) = 0 (Ake^{kz}-Bke^{-kz})=0 (Akekz−Bke−kz)=0，代入 z = − h z=-h z=−h： A k e − k h − B k e k h = 0 Ake^{-kh}-Bke^{kh}=0 Ake−kh−Bkekh=0 A k e − k h = B k e k h (4) Ake^{-kh}=Bke^{kh} \tag{4} Ake−kh=Bkekh(4)

对方程（2）作变形，等式右边同乘 e k h e − k h e^{kh}e^{-kh} ekhe−kh：

  f ( z ) = A e k z + B e − k z   = e k h e − k h ( A e k z + B e − k z )   = A e − k h e k z e k h + B e k h e − k h e − k z \begin{aligned} \ f(z)=&Ae^{kz}+Be^{-kz}\\\\ \ =&e^{kh}e^{-kh}(Ae^{kz}+Be^{-kz})\\\\ \ =&Ae^{-kh}e^{kz}e^{kh}+Be^{kh}e^{-kh}e^{-kz} \end{aligned}  f(z)= = =​Aekz+Be−kzekhe−kh(Aekz+Be−kz)Ae−khekzekh+Bekhe−khe−kz​代入（4）有：   = 2 A e − k h ⋅ e k ( h + z ) + e − k ( h + z ) 2 \begin{aligned} \ =&2Ae^{-kh}\cdot\frac {e^{k(h+z)}+e^{-k(h+z)}} {2}\\ \end{aligned}  =​2Ae−kh⋅2ek(h+z)+e−k(h+z)​​ f ( z ) = 2 A e − k h c o s h [ k ( h + z ) ] (5) f(z)=2Ae^{-kh}cosh[k(h+z)]\tag{5} f(z)=2Ae−khcosh[k(h+z)](5)  

现在 Φ \Phi Φ可以写成 Φ = 2 A e − k h c o s h [ k ( h + z ) ] s i n ( k x − σ t ) (6) \Phi=2Ae^{-kh}cosh[k(h+z)]sin(kx-\sigma t)\tag{6} Φ=2Ae−khcosh[k(h+z)]sin(kx−σt)(6) 根据自由表面动力边界条件(D.F.S.B.C)： η = − 1 g ∂ Φ ∂ t , ( z = 0 ) \eta=-\frac 1 g \frac {\partial\Phi} {\partial t}, (z=0) η=−g1​∂t∂Φ​,(z=0) 解得： η = σ g 2 A e − k h c o s h k h ⋅ c o s ( k x − σ t ) (7) \eta=\frac {\sigma} {g} 2Ae^{-kh}coshkh\cdot cos(kx-\sigma t)\tag{7} η=gσ​2Ae−khcoshkh⋅cos(kx−σt)(7) 又有设 η = H 2 c o s ( k x − σ t ) \eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t) η=2H​cos(kx−σt)，消去同项得： H 2 = σ g 2 A e − k h c o s h k h \frac H 2 = \frac \sigma g2Ae^{-kh}coshkh 2H​=gσ​2Ae−khcoshkh 得 2 A e − k h = g H 2 σ ⋅ 1 c o s h k h (8) 2Ae^{-kh}=\frac {gH} {2 \sigma}\cdot \frac 1 {coshkh}\tag{8} 2Ae−kh=2σgH​⋅coshkh1​(8) 将式（8）代入式（6）有： Φ = g H 2 σ ⋅ c o s h [ k ( h + z ) ] c o s h ( k h ) ⋅ s i n ( k x − σ t ) (9) \Phi = \frac {gH} {2 \sigma}\cdot \frac {cosh[k(h+z)]} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t) \tag{9} Φ=2σgH​⋅cosh(kh)cosh[k(h+z)]​⋅sin(kx−σt)(9) 至此求得微幅波速度势函数，即式（9）  

根据自由表面运动边界条件(K.F.S.B.C)： ∂ η ∂ t = ∂ Φ ∂ z , ( w h e n   z = 0 ) (10) \frac {\partial\eta} {\partial t}=\frac {\partial\Phi} {\partial z}, (when\ z=0)\tag{10} ∂t∂η​=∂z∂Φ​,(when z=0)(10) 等式左边： {   η = H 2 c o s ( k x − σ t )   ∂ η ∂ t = H σ 2 s i n ( k x − σ t ) \begin{cases} \ \eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t)\\\\ \ \frac {\partial\eta} {\partial t}=\frac {H \sigma} 2 sin(kx-\sigma t)\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​ η=2H​cos(kx−σt) ∂t∂η​=2Hσ​sin(kx−σt)​ 等式右边： {   Φ = g H 2 σ ⋅ c o s h [ k ( h + z ) ] c o s h ( k h ) ⋅ s i n ( k x − σ t )   ∂ Φ ∂ z = g H k 2 σ ⋅ s i n h [ k ( h + z ) ] c o s h ( k h ) ⋅ s i n ( k x − σ t )         = g H k 2 σ ⋅ s i n h ( k h ) c o s h ( k h ) ⋅ s i n ( k x − σ t ) , ( w h e n   z = 0 ) \begin{cases} \ \Phi = \frac {gH} {2 \sigma}\cdot \frac {cosh[k(h+z)]} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t)\\\\ \ \frac {\partial\Phi} {\partial z}=\frac {gHk} {2 \sigma}\cdot \frac {sinh[k(h+z)]} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t)\\\\ \ \ \ \ \ \ \ =\frac {gHk} {2 \sigma}\cdot \frac {sinh(kh)} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t), (when\ z=0) \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​ Φ=2σgH​⋅cosh(kh)cosh[k(h+z)]​⋅sin(kx−σt) ∂z∂Φ​=2σgHk​⋅cosh(kh)sinh[k(h+z)]​⋅sin(kx−σt)       =2σgHk​⋅cosh(kh)sinh(kh)​⋅sin(kx−σt),(when z=0)​ 此时式（10）可改写成： H σ 2 s i n ( k x − σ t ) = g H k 2 σ ⋅ s i n h ( k h ) c o s h ( k h ) ⋅ s i n ( k x − σ t ) \frac {\cancel{H} \sigma} {\cancel 2} \cancel {sin(kx-\sigma t)}=\frac {g\cancel{H}k} {\cancel{2} \sigma}\cdot \frac {sinh(kh)} {cosh(kh)} \cdot \cancel {sin(kx-\sigma t)} 2 ​H ​σ​sin(kx−σt) ​=2 ​σgH ​k​⋅cosh(kh)sinh(kh)​⋅sin(kx−σt) ​ 整理可得波浪运动的重要方程弥散方程 σ 2 = g k t a n h ( k h ) (11) \sigma^2=gktanh(kh)\tag{11} σ2=gktanh(kh)(11)  

根据上述的推导，我们得到弥散方程的一般形式，其中 σ = 2 π T \sigma = \frac {2\pi} T σ=T2π​， k = 2 π L k=\frac {2\pi} L k=L2π​，代入（11）得： L = g T 2 2 π t a n h 2 π L h (12) L=\frac {gT^2} {2\pi}tanh\frac{2\pi} {L} h\tag{12} L=2πgT2​tanhL2π​h(12) 又有 c = L T c=\frac {L} {T} c=TL​，有： c = g T 2 π t a n h 2 π L h (13) c=\frac {gT} {2\pi}tanh\frac{2\pi} {L} h\tag{13} c=2πgT​tanhL2π​h(13) 说明：式（11）、（12）、（13）为弥散方程的三种不同形式。   由弥散方程可知微幅波运动具有以下特点： （1）、波浪要素L、T、h并不相互独立。对于给定水深h，每一个周期T对应一个波长为L的波；又因为 c = L T c=\frac {L} {T} c=TL​，所以每个周期T（或说每个波长L）对应一个确定的波速c，表现在物理现象上就是波浪的弥散现象，即不同周期的波拥有不同的波速而分离开来。 （2）、虽然弥散方程是一个隐式方程，涉及到迭代求解，但有结论： 当T一定时，波浪从深h到浅h传播时，L变小， c = L T c=\frac {L} {T} c=TL​也变慢； 当h一定时，波周期T越长，波长L越长，波速c越快。   求解弥散方程时，需要查表或迭代试算，一般先假设为深水波，即 t a n h k h = 1 tanhkh=1 tanhkh=1，算得 L 0 = g T 2 2 π L_0=\frac {gT^2} {2\pi} L0​=2πgT2​，再回代求 L 1 = g T 2 2 π t a n h 2 π L 0 h L_1=\frac {gT^2} {2\pi}tanh\frac{2\pi} {L_0} h L1​=2πgT2​tanhL0​2π​h，判断 ∣ L 0 − L 1 ∣ |L_0-L_1| ∣L0​−L1​∣是否小于一个规定的小数，若小于则说明收敛，若不小于则继续迭代直至满足要求。