设 X X X服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布，则其特征函数为： g ( t ) = E ( e i t X ) = ∑ x = 0 ∞ e i t x ⋅ e − λ ⋅ λ x x ! = e − λ ⋅ ∑ x = 0 ∞ ( λ ⋅ e i t ) x x ! = e − λ ⋅ e λ ⋅ e i t = e λ ( e i t − 1 ) \begin{aligned} g(t) ;= E(e^{itX}) \\ ;= \sum_{x=0}^{\infty}e^{itx}\cdot e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^x}{x!} \\ ;=e^{-\lambda}\cdot\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(\lambda\cdot e^{it})^x}{x!} \\ ;=e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda\cdot e^{it}} \\ ;=e^{\lambda(e^{it}-1)} \end{aligned} g(t)​=E(eitX)=x=0∑∞​eitx⋅e−λ⋅x!λx​=e−λ⋅x=0∑∞​x!(λ⋅eit)x​=e−λ⋅eλ⋅eit=eλ(eit−1)​

设 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)，则其特征函数为： g ( t ) = E ( e i t X ) = ∫ − ∞ + ∞ e i t x ⋅ 1 2 π σ ⋅ e x p { − ( x − μ ) 2 2 σ 2 } d x = 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e x p { − [ x − ( μ − σ 2 i t ) ] 2 − 2 μ σ 2 i t − σ 4 i 2 t 2 2 σ 2 } d x = e i μ t − 1 2 σ 2 t 2 ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e x p { − [ u − ( μ − σ 2 i t ) ] 2 2 σ 2 } d u = e i μ t − 1 2 σ 2 t 2 \begin{aligned} g(t) ;= E(e^{itX}) \\ ;= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\}dx\\ ;=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}exp\{-\frac{[x-(\mu-\sigma^2it)]^2-2\mu\sigma^2it-\sigma^4i^2t^2}{2\sigma^2}\}dx\\ ;=e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac{[u-(\mu-\sigma^2it)]^2}{2\sigma^2}\}du \\ ;=e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2} \end{aligned} g(t)​=E(eitX)=∫−∞+∞​eitx⋅2π ​σ1​⋅exp{−2σ2(x−μ)2​}dx=2π ​σ1​∫−∞+∞​exp{−2σ2[x−(μ−σ2it)]2−2μσ2it−σ4i2t2​}dx=eiμt−21​σ2t2∫−∞+∞​2π ​σ1​exp{−2σ2[u−(μ−σ2it)]2​}du=eiμt−21​σ2t2​ 其中 ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e x p { − [ u − ( μ − σ 2 i t ) ] 2 2 σ 2 } d u = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac{[u-(\mu-\sigma^2it)]^2}{2\sigma^2}\}du=1 ∫−∞+∞​2π ​σ1​exp{−2σ2[u−(μ−σ2it)]2​}du=1。因为对于该式，有 U ∼ N ( μ − σ 2 i t ) , σ 2 ) U\sim\mathcal{N}(\mu-\sigma^2it), \sigma^2) U∼N(μ−σ2it),σ2)

设 X X X服从参数为 λ \lambda λ的指数分布，则其特征函数为： g ( t ) = E ( e i t X ) = ∫ − ∞ 0 e i t x ⋅ 0 d x + ∫ 0 + ∞ e i t x ⋅ λ ⋅ e − λ x d x = 0 + λ ⋅ 1 i t − λ e ( i t − λ ) x ∣ 0 + ∞ = ( i t λ − 1 ) − 1 [ 0 − 1 ] = ( 1 − i t λ ) − 1 \begin{aligned} g(t) ;= E(e^{itX}) \\ ;= \int_{-\infty}^0e^{itx}\cdot0dx+\int_0^{+\infty}e^{itx}\cdot\lambda\cdot e^{-\lambda x}dx \\ ;=0 + \lambda\cdot\frac{1}{it-\lambda}e^{(it-\lambda)x}|_0^{+\infty} \\ ;=(\frac{it}{\lambda}-1)^{-1}[0-1]\\ ;=(1-\frac{it}{\lambda})^{-1} \end{aligned} g(t)​=E(eitX)=∫−∞0​eitx⋅0dx+∫0+∞​eitx⋅λ⋅e−λxdx=0+λ⋅it−λ1​e(it−λ)x∣0+∞​=(λit​−1)−1[0−1]=(1−λit​)−1​ 对于 ∣ e ( i t − λ ) x ∣ = ∣ e i t x ∣ ⋅ e − λ x = e − λ x |e^{(it-\lambda)x}|=|e^{itx}|\cdot e^{-\lambda x}=e^{-\lambda x} ∣e(it−λ)x∣=∣eitx∣⋅e−λx=e−λx，所以对 + ∞ +\infty +∞时取 0 0 0。