定义 时齐泊松过程

随机过程 ${N_t:t\geqslant0}$ 称为时齐泊松过程, 若满足

计数过程, 且初值为 $0$ \(N_0=0\)

独立增量过程, 即 \(\forall~0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n\) 有 \(N_{t_1},N_{t_2}-N_{t_1},\cdots,N_{t_n}-N_{t_{n-1}}\) 相互独立

增量平稳性, 即 $\forall~s,t\geqslant0,~n\geqslant0$, \(P(N_{s+t}-N_s=n)=P(N_t=n)\)

增 $1$ 同 $\lambda$ 阶 \(\begin{aligned} P(N_{t+\Delta t}-N_t=1)&=\lambda\Delta t+o(\Delta t)\\ P(N_{t+\Delta t}-N_t=2)&=o(\Delta t)\\ \end{aligned}\)

定理 泊松过程的分布

若 ${N_t:t\geqslant0}$ 为泊松过程, 则 $\forall~s,t\geqslant0$, 有 \(\begin{aligned} P(N_{s+t}-N_s=k) &=P(N_t=k)\\ &=\frac{(\lambda t)^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda t} \end{aligned}\)

即 \(N_{s+t}-N_s\overset{d}{=}N_t\sim P(\lambda t)\)

定义 泊松过程

计数过程 ${N_t:t\geqslant0}$ 称为参数是 $\lambda$ 的泊松过程, 若满足

初值为 $0$ \(N_0=0\)

设 ${N_t:t\geqslant0}$ 是计数过程, $N_t$ 是 $[0,t]$ 内事件发生次数. 令 $S_0=0$, 第 $n$ 次事件发生的时刻为 \(\begin{aligned} S_n &=\inf_{t\geqslant0}\{t:N_t\geqslant n\}\\ &=\inf\{t:t>S_{n-1},~N_t=n\}\\ \end{aligned}\)

第 $n-1$ 个事件与第 $n$ 个事件发生的时间间隔为 \(X_n=S_n-S_{n-1},\quad n\geqslant1\)

固定 $\omega\in\Omega$, 观察随机过程的一条轨道, 即一条时间轴, 可知此时存在事件等价 \(\begin{aligned} \{t:N_t\geqslant n\} &=\{t:t\geqslant S_n\}\\ &=\{t:S_n\leqslant t\}\\ \end{aligned}\)

因此 $S_n$ 的分布函数为 \(\begin{aligned} P(S_n\leqslant t) &=P(N_t\geqslant n)\\ &=1-P(N_t\leqslant n-1)\\ &=1-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda t},\quad t\geqslant0\\ \end{aligned}\)

则 $S_n$ 的概率密度函数为 \(\begin{aligned} f_{S_n}(t) &=-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k\lambda(\lambda t)^{k-1}}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda t}+\lambda\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda t}\\ &=\left[\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda t)^k}{k!}-\sum_{k=0}^{n-2}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\right]\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\\ &=\frac{\lambda(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{e}^{-\lambda t},\quad t\geqslant0\\ \end{aligned}\)

即 \(S_n\sim\Gamma(n,\lambda)\)

定理

计数过程 ${N_t:t\geqslant0}$ 是泊松过程的充分必要条件是 ${X_n:n\geqslant1}$ 是独立且参数同 $\lambda$ 的指数分布.

例题

求 $(S_1,S_2)$ 的联合概率密度, 并证明 $S_1,S_2-S_1$ 独立.

解: 令 $0< t_1 < t_2$, 取充分小的 $h>0$, 使得 \(t_1-\frac{h}{2} < t_1 < t_1 + \frac{h}{2} < t_2-\frac{h}{2} < t_2 < t_2 + \frac{h}{2}\)

由 \(\begin{aligned} &~\left\{t_1-\frac{h}{2} < S_1 \leqslant t_1 + \frac{h}{2} < t_2-\frac{h}{2} < S_2 \leqslant t_2 + \frac{h}{2}\right\}\\ =&~\bigg\{N\left(t_1-\frac{h}{2}\right)=0,N\left(t_1+\frac{h}{2}\right)-N\left(t_1-\frac{h}{2}\right)=1,\\ &\quad~N\left(t_2-\frac{h}{2}\right)-N\left(t_1+\frac{h}{2}\right)=0,N\left(t_2+\frac{h}{2}\right)-N\left(t_2-\frac{h}{2}\right)=1\bigg\}\bigcup H_n\\ \end{aligned}\)

其中 \(\begin{aligned} H_n=&~\bigg\{N\left(t_1-\frac{h}{2}\right)=0,N\left(t_1+\frac{h}{2}\right)-N\left(t_1-\frac{h}{2}\right)=1,\\ &\quad~N\left(t_2-\frac{h}{2}\right)-N\left(t_1+\frac{h}{2}\right)=0,N\left(t_2+\frac{h}{2}\right)-N\left(t_2-\frac{h}{2}\right)\geqslant2\bigg\}\\ \end{aligned}\)

得 \(\begin{aligned} P\left(t_1-\frac{h}{2}< S_1 \leqslant t_1 + \frac{h}{2} < t_2-\frac{h}{2} < S_2 \leqslant t_2 + \frac{h}{2}\right) &=(\lambda h)^2\mathrm{e}^{-\lambda(t_2+h/2)}+o(h^2)\\ &=\lambda^2h^2\mathrm{e}^{-\lambda t_2}+o(h^2)\\ \end{aligned}\)

所以 $(S_1,S_2)$ 的联合概率密度为 \(f_{(S_1,S_2)}(t_1,t_2)=\frac{\partial^2 P}{\partial h^2}= \begin{cases} \lambda^2\mathrm{e}^{-\lambda t_2}, &\text{if}~0< t_1 < t_2,\\ 0, &\text{o.w.}\\ \end{cases}\)

为证明 $X_1,X_2$ 的独立性, 下面求 $(X_1,X_2)$ 的联合概率密度.

注意到 \(X_1=S_1,~X_2=S_2-S_1\) 令 \(x_1=t_1,~x_2=t_2-t_1\) 则此变换的雅克比行列式为 \(\begin{aligned} J &=\left|\frac{\partial[t_1(x_1,x_2),t_2(x_1,x_2)]}{\partial(x_1,x_2)}\right|\\ &=\left|\begin{matrix}1 & 0\\ 1&1\end{matrix}\right|\\ &=1 \end{aligned}\)

此处可以直观地理解为全微分相等 \(g_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)\partial(x_1,x_2)=f_{(S_1,S_2)}(t_1,t_2)\partial(t_1,t_2)\)

则相互转换需要乘以雅克比行列式作为转换系数, 即 \(g_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)=f_{(S_1,S_2)}(t_1,t_2)\frac{\partial(t_1,t_2)}{\partial(x_1,x_2)}\)

于是 $X_1,X_2$ 的联合概率密度为 \(\begin{aligned} g_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)&=f_{(S_1,S_2)}[t_1(x_1,x_2),t_2(x_1,x_2)]\cdot J\\ &=\begin{cases} \lambda^2\mathrm{e}^{-\lambda (x_1+x_2)}, &\text{if}~x_1,x_2\geqslant0,\\ 0, &\text{o.w.}\\ \end{cases} \end{aligned}\)

对联合概率密度求边缘分布可知 $X_1,X_2$ 的概率密度分别为 \(g_{X_1}(x_1)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x_1},~ g_{X_2}(x_2)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x_2}\)

所以 \(g_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)=g_{X_1}(x_1)g_{X_2}(x_2)\)

故 $X_1,X_2$ 独立, 即 $S_1,S_2-S_1$ 独立.

设 $N_t$ 表示在 $[0,t]$ 上事件发生的个数, $S_n$ 表示第 $n$ 个事件发生的时刻, 那么

令 \(\begin{aligned} W_t&=S_{N_t+1}-t\\ V_t&=t-S_{N_t}\\ \end{aligned}\)

则

定理 剩余寿命与年龄的分布

设 ${N_t:t\geqslant0}\sim PP(\lambda)$ 是参数为 $\lambda$ 的泊松过程, 则

剩余寿命分布: $W_t$ 与 ${X_n:n\geqslant1}$ 同分布, 即 \(\begin{aligned} P(W_t\leqslant x) &=1-P(W_t>x)\\ &=1-P(N_{t+x}-N_t=0)\\ &=1-P(N_x=0)\\ &=1-\frac{(\lambda x)^0}{0!}\mathrm{e}^{-\lambda x}\\ &=1-\mathrm{e}^{-\lambda x},\quad x\geqslant0\\ \end{aligned}\)

年龄分布: $V_t$ 是截尾的指数分布, 即对 $x < t$ 有 \(\begin{aligned} P(V_t\leqslant x) &=1-P(V_t>x)\\ &=1-P(N_t-N_{t-x}=0)\\ &=1-P(N_x=0)\\ &=1-\frac{(\lambda x)^0}{0!}\mathrm{e}^{-\lambda x}\\ &=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}, \quad 0 \leqslant x < t\\ \end{aligned}\)

故 \(P(V_t\leqslant x)= \begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}, &\text{if}~ 0 \leqslant x < t\\ 1, & \text{if}~x\geqslant t \end{cases}\)

由于 $V_t$ 取单点 $t$ 的概率大于零, 即分布函数有跳跃, 则其是混合型随机变量.

定理

若 ${X_n:n\geqslant1}$ 独立同分布, 又对 $\forall~t\geqslant0$, $W_t$ 与 ${X_n:n\geqslant1}$ 同分布, 分布函数为 $F(x)$, 且 $F(0)=0$, 则 ${N_t:t\geqslant0}$ 为泊松过程.

本节讨论在给定 $N_t=n$ 的条件下, $S_1,S_2,\cdots,S_n$ 的条件分布, 有关性质及其应用.

定理

设 ${N_t:t\geqslant0}$ 是泊松过程, 则对 $\forall~0 < s < t$, 有 \(P(X_1\leqslant s|N_t=1)=\frac{s}{t}\)

证明: \(\begin{aligned} P(X_1\leqslant s|N_t=1) &=\frac{P(X_1\leqslant s,N_t=1)}{P(N_t=1)}\\ &=\frac{P(N_s=1,N_t-N_s=0)}{P(N_t=1)}\\ &=\frac{P(N_s=1)P(N_t-N_s=0)}{P(N_t=1)}\\ &=\frac{\dfrac{(\lambda s)^1}{1!}\mathrm{e}^{-\lambda s}\dfrac{(\lambda (t-s))^0}{0!}\mathrm{e}^{-\lambda (t-s)}}{\dfrac{(\lambda t)^1}{1!}\mathrm{e}^{-\lambda t}}\\ &=\frac{s}{t}\\ \end{aligned}\)

独立同分布非负随机变量的顺序统计量的联合概率密度为 \(f(y_1,y_2,\cdots,y_n)= \begin{cases} \displaystyle n!\prod_{i=1}^n f(y_i), &\text{if}~0 < y_1 < y_2 < \cdots < y_n,\\ 0, &\text{o.w.} \end{cases}\)

若为均匀分布, 则 \(f(y_1,y_2,\cdots,y_n)= \begin{cases} \displaystyle \frac{n!}{t^n}, &\text{if}~0 < y_1 < y_2 < \cdots < y_n \leqslant t,\\ 0, &\text{o.w.} \end{cases}\)

定理

设 ${N_t:t\geqslant0}$ 是泊松过程, 在给定 $N_t=n$ 时, 事件相继发生的时间 $S_1,S_2,\cdots,S_n$ 的条件概率密度为 \(f(t_1,t_2,\cdots,t_n)= \begin{cases} \displaystyle \frac{n!}{t^n}, &\text{if}~0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n \leqslant t,\\ 0, &\text{o.w.} \end{cases}\)

本定理说明在给定 $N_t=n$ 的条件下, $S_1,S_2,\cdots,S_n$ 的条件分布函数与 $n$ 个在 $[0,t]$ 上相互独立同均匀分布的顺序统计量的分布函数相同.

定理

设 ${N_t:t\geqslant0}$ 是计数过程, $X_n$ 为第 $n$ 个事件与第 $n-1$ 个事件的时间间隔, ${X_n:n\geqslant1}$ 独立同分布且 \(F(x)=P(X_n\leqslant x)\)

若 $F(0)=0$, 且对 $\forall~0 \leqslant s \leqslant t$, 有 \(P(X_1\leqslant s|N_t=1)=\frac{s}{t}\)

则 ${N_t:t\geqslant0}$ 是泊松过程.

定理

设 ${N_t:t\geqslant0}$ 是计数过程, $X_n$ 为第 $n$ 个事件与第 $n-1$ 个事件的时间间隔, ${X_n:n\geqslant1}$ 独立同分布且 \(F(x)=P(X_n\leqslant x)\)

若 $EX_n < \infty,~F(0)=0$, 且对 $\forall~0 \leqslant s \leqslant t,~n\geqslant1$, 有 \(P(S_n\leqslant s|N_t=n)=\left(\frac{s}{t}\right)^n\)

则 ${N_t:t\geqslant0}$ 是泊松过程.

定理

设 ${N_t:t\geqslant0}\sim PP(\lambda)$ 是参数为 $\lambda$ 的泊松过程, $S_k,~k\geqslant1$ 为其到达时刻, 则对任意 $[0,\infty)$ 上的可积函数 $f$ 有 \(E\left[f(S_n)\right]=\lambda\int_0^\infty f(t)\mathrm{d}t\)

例题

设到达火车站的顾客流遵照参数 $\lambda$ 的泊松流 ${N_t:t\geqslant0}$, 火车 $t$ 时刻离开车站, 求在 $[0,t]$ 到达车站的顾客等待时间总和的期望值.

解: 设第 $i$ 个顾客到达火车站的时刻为 $S_i$, 则 $[0,t]$ 到达车站的顾客等待时间总和为 \(S(t)=\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)\)

其求和上限为随机变量, 故先计算条件期望 \(\begin{aligned} E[S(t)|N_t=n] &=E\left[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)\bigg|N_t=n\right]\\ &=E\left[\sum_{i=1}^{n}(t-S_i)\bigg|N_t=n\right]\\ &=nt-E\left(\sum_{i=1}^{n}S_i\bigg|N_t=n\right) \end{aligned}\)

由于在给定 $N_t=n$ 的条件下, $S_1,S_2,\cdots,S_n$ 的条件分布函数与 $n$ 个在 $[0,t]$ 上相互独立同均匀分布的顺序统计量的分布函数相同, 则有 \(E\left(\sum_{i=1}^{n}S_i\bigg|N_t=n\right)=\frac{nt}{2}\)

故 \(E[S(t)|N_t=n]=nt-\frac{nt}{2}=\frac{nt}{2}\)

所以 \(\begin{aligned} E[S(t)] &=\sum_{n=0}^\infty E[S(t)|N_t=n]P(N_t=n)\\ &=\sum_{n=0}^\infty P(N_t=n)\frac{nt}{2}\\ &=\frac{t}{2}EN_t\\ &=\frac{\lambda t^2}{2}\\ \end{aligned}\)