在线学习算法(Online Learning)理论与实践

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在线学习算法(Online Learning)理论与实践

2024-07-17 01:25| 来源: 网络整理| 查看: 265

背景

Online Learning是工业界比较常用的机器学习算法，在很多场景下都能有很好的效果。本文主要介绍Online Learning的基本原理和两种常用的Online Learning算法：FTRL（Follow The Regularized Leader）[1]和BPR（Bayesian Probit Regression）[2]，以及Online Learning在美团移动端推荐重排序的应用。

什么是在线学习(Online Learning)

准确地说，Online Learning并不是一种模型，而是一种模型的训练方法，Online Learning能够根据线上反馈数据，实时快速地进行模型调整，使得模型及时反映线上的变化，提高线上预测的准确率。Online Learning的流程包括：将模型的预测结果展现给用户，然后收集用户的反馈数据，再用来训练模型，形成闭环的系统。如下图所示：

Online Learning有点像自动控制系统，但又不尽相同，二者的区别是：Online Learning的优化目标是整体的损失函数最小化，而自动控制系统要求最终结果与期望值的偏差最小。

传统的训练方法，模型上线后，更新的周期会比较长（一般是一天，效率高的时候为一小时），这种模型上线后，一般是静态的（一段时间内不会改变），不会与线上的状况有任何互动，假设预测错了，只能在下一次更新的时候完成更正。Online Learning训练方法不同，会根据线上预测的结果动态调整模型。如果模型预测错误，会及时做出修正。因此，Online Learning能够更加及时地反映线上变化。

Online Learning的优化目标

如上图所示，Online Learning训练过程也需要优化一个目标函数（红框标注的），但是和其他的训练方法不同，Online Learning要求快速求出目标函数的最优解，最好是能有解析解。

怎样实现Online Learning

前面说到Online Learning要求快速求出目标函数的最优解。要满足这个要求，一般的做法有两种：Bayesian Online Learning和Follow The Regularized Leader。下面就详细介绍这两种做法的思路。

Bayesian Online Learning

贝叶斯方法能够比较自然地导出Online Learning的训练方法：给定参数先验，根据反馈计算后验，将其作为下一次预测的先验，然后再根据反馈计算后验，如此进行下去，就是一个Online Learning的过程，如下图所示。

举个例子，我们做一个抛硬币实验，估算硬币正面的概率 $\mu$ 。我们假设 $\mu$ 的先验满足

$p\left(\mu \right) = \operatorname{Beta}(\alpha, \beta)$ 对于观测值 Y=1 ，代表是正面，我们可以算的后验：

$p\left( \mu | Y=1 \right) = \operatorname{Beta}(\alpha+1, \beta)$ 对于观测值 Y=0 ，代表是反面，我们可以算的后验：

$p\left(\mu \right | Y=0) = \operatorname{Beta}(\alpha, \beta+1)$ 按照上面的Bayesian Online Learning流程，我们可以得到估算 $\mu$ 的Online Learning算法：

初始化 $\alpha, \beta$ for i = 0 ... n

如果 $Y_{i}$ 是正面 $\alpha =\alpha+1$ 如果 YiYi是反面 $\beta =\beta+1$

最终: $\mu \sim \operatorname{Beta}(\alpha, \beta)$ ，可以取 $\mu$ 的期望，

$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 假设抛了次硬币，正面出现次，反面出现次，按照上面的算法，可以算得：

$\mu = \frac{ \alpha + H}{\alpha + \beta + N}$ 和最大化似然函数：

$\mathrm{log}\left[ p\left(\mu \mid \alpha,\beta \right) \cdot p \left( Y = 1 \mid \mu \right)^{H} \cdot p \left( Y = 0 \mid \mu \right)^{T} \right]$ 得到的解是一样的。

上面的例子是针对离散分布的，我们可以再看一个连续分布的例子。

有一种测量仪器，测量的方差 $\sigma^2$ 是已知的，测量结果为： Y_1 , Y_2 , Y_3 , ... , Y_n , 求真实值 $\mu$ 的分布。仪器的方差是 $\sigma^2$ , 所以观测值Y满足高斯分布：

$p\left(Y \mid \mu\right) = N\left( Y \mid \mu,\sigma^2 \right)$ 观测到 Y_1 , Y_2 , Y_3 , ... , Y_n 估计参数 $\mu$ 。假设参数 $\mu$ 满足高斯分布：

$p\left( \mu \right) = N\left( \mu \mid m ,v ^2 \right)$ 观测到 $Y_{i}$ , 可以计算的后验：

$p \left( \mu \mid Y_i \right) = N\left( \mu \mid \frac{Y_i v^{2}+m\sigma^{2}}{\sigma^{2}+v^{2}} , \frac{\sigma^{2}v^{2}}{\sigma^{2}+v^{2}} \right)$ 可以得到以下的Online Learning算法：

初始化 $m,v_{2}$ for i = 0 ... n

观测值为 $Y_{i}$ 更新

$m = \frac{Y_i v^{2} + m \sigma^{2}}{\sigma^{2} + v^{2}}$ $v^{2} = \frac{\sigma^{2} v^{2}}{\sigma^{2} + v^{2} }$

上面的两个结果都是后验跟先验是同一分布的（一般取共轭先验，就会有这样的效果），这个后验很自然的作为后面参数估计的先验。假设后验分布和先验不一样，我们该怎么办呢？

举个例子：假设上面的测量仪器只能观测到，是大于0，还是小于0，即 $Y_{i} \in \{-1,1\}$ ， $Y_{i} = -1$ 代表观测值小于0， $Y_{i} = 1$ 代表观测值大于0。此时，我们仍然可以计算后验分布：

$p(\mu |Y_{i} =1 ) = \frac{ I(\mu 0 )p(\mu)}{ \int_{0}^{+\infty} p(\mu)\mathrm{d}u}$

$p( \mu | Y_i =-1) = \frac{ I(\mu 0) p(\mu)}{ \int_{-\infty}^{0} p(\mu)\mathrm{d}u}$

但是后验分布显然不是高斯分布（是截断高斯分布），这种情况下，我们可以用和上面分布KL距离最近的高斯分布代替。观测到 $Y_{i}=1$

$KL( p(\mu \mid Y_i =1) || N(\mu \mid \tilde m ,\tilde v^{2}))$ 可以求得：

$\tilde m = m + v \cdot \upsilon\left(\frac{m}{v}\right)$

$\tilde v^{2} = v^2\left(1 - \omega\left(\frac{m}{v}\right)\right)$

观测到 $Y_{i} = -1$

$KL( p(\mu \mid Y_i =-1) || N(\mu \mid \tilde \mu ,\tilde v^{2}))$ 可以求得：

$\tilde m = m - v \cdot \upsilon\left(-\frac{m}{v}\right)$

$\tilde v^{2} = v^2\left(1 - \omega\left(-\frac{m}{v}\right)\right)$

两者综合起来，可以求得：

$\tilde m = m + Y_{i} v \cdot \upsilon\left(Y_{i}\frac{m}{v}\right)$

$\tilde v^{2} = v^2\left(1 - \omega\left(Y_{i}\frac{m}{v}\right)\right)$ 其中：

$\upsilon(t) = \frac{\phi(t)}{\Phi(t)}$

$\phi(t) = \frac{1}{2\pi} \mathrm{exp} \left(-\frac{1}{2} t^2\right)$

$\Phi(t)=\int_{-\infty}^{t} \phi(t)\mathrm{d}t$

$\omega(t) = \upsilon(t)*(t-\upsilon(t))$

有了后验我们可以得到Online Bayesian Learning流程：

初始化 $m,v^{2}$ for i = 0 ... n

观测值为 $Y_{i}$ 更新

$m = m + Y_{i} \cdot v \cdot \upsilon\left(Y_{i} \cdot \frac{m}{v}\right)$

$v^{2} = v^2\left(1 - \omega\left(Y_{i} \cdot \frac{m}{v}\right)\right)$

Bayesian Online Learning最常见的应用就是BPR（Bayesian Probit Regression）。

BPR

在看Online BPR前，我们先了解以下Linear Gaussian System(具体可以参考[3]的4.4节)。是满足多维高斯分布：

$p \left( x \right) = N \left(x \mid \mu_x, \Sigma_x \right)$ 是通过线性变换加入随机扰动 $\Sigma_y$ 得到的变量：

$p \left(y \mid x \right) = N \left(y \mid Ax+b ,\Sigma_y \right)$

已知，我们可以得到的分布：

$p \left( y \right) = N \left( y \mid A\mu_X +b, \Sigma_y + A \Sigma_x A^{T} \right)$

上面这个结论的具体的推导过程可以参考[3]的4.4节，这里我们直接拿来用。

我们可以假设特征权重满足独立高斯分布，即

$p(w) = N\left( w \mid \mu ,\Sigma \right)$

：

$\mu = \left[ \mu_1,\mu_2,...,\mu_D\right]^{\mathrm{T}}$

$\Sigma = \left[ \begin{matrix} \sigma_1^{2} & 0 & \ldots & 0 \\\newline 0 & \sigma_2^{2} & \ldots & 0\\ \newline \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\\newline 0 & 0 & \ldots & \sigma_D^{2} \newline \end{matrix} \right]$

是一维变量，是与特征向量的内积，加入方差为 $\beta _{2}$ 的扰动：

$p\left( y \mid w\right) = N(y \mid x^Tw, \beta^2)$ 根据上面的式子可以得出：

$p\left( y \mid w\right) = N(y \mid x^T\mu, x^T\Sigma x +\beta^2)$

由于我们只能观测到，是大于0，还是小于0，即 $Y_{i} \in \{-1,1\}$ ， $Y_{i} = -1$ 代表观测值小于0， $Y_{i} =1$ 代表观测值大于0。

对于观测值，我们可以先用KL距离近似的分布，我们可以算出后验：

$p\left(y\mid Y_i\right) = N\left(y\mid \tilde m, \tilde v^2 \right)$

$\tilde m = x^T\mu + Y_{i}\upsilon \left(Y_{i} \cdot \frac{x^T\mu}{\sqrt{x^T\Sigma x +\beta^2}}\right)$

$\tilde v^2 = \left(x^T\Sigma x +\beta^2\right)\left(1-\omega\left(Y_{i} \cdot \frac{x^T\mu}{\sqrt{x^T\Sigma x +\beta^2}} \right)\right)$ 有了的近似分布，我们可以计算出后验：

$p\left(w \mid y \right) \propto p\left(y \mid w \right) p\left(w\right)$

可以求得：

$p\left( w_{d} \mid y \right) = N\left( w_{d} \mid \tilde \mu_{d},\tilde \sigma_{d} \right)$

$\tilde \mu_{d} = \mu_{d} + Y_{i} x_{i,d}\cdot \frac {\sigma_{d}^{2} }{\sqrt{x^T\Sigma x +\beta^2}} \cdot \upsilon \left(Y_{i} \cdot \frac{x^T\mu}{\sqrt{x^T\Sigma x +\beta^2}}\right)$

$\tilde \sigma_{d} = \sigma_{d} \cdot \left[ 1 - x_{i,d} \cdot \frac{\sigma_{d}^{2}}{x^T\Sigma x +\beta^2} \omega\left(Y_{i} \cdot \frac{x^T\mu}{\sqrt{x^T\Sigma x +\beta^2}} \right) \right]$

Online Bayesian Probit Regression 训练流程如下：

初始化 $\mu _{1},\sigma _{1}^{2},\mu_{2},\sigma _{2}^{2},\cdots ,\mu _{D},\sigma _{D}^{2}$ for i = 1 ... n

观测值为YiYi for d = 1 ... D 更新 $\mu_{d} = \mu_{d} + Y_{i} x_{i,d}\cdot \frac {\sigma_{d}^{2} }{\sqrt{x_{i}^T\Sigma x_{i} +\beta^2}} \cdot \upsilon \left(Y_{i} \cdot \frac{x_{i}^T\mu}{\sqrt{x_{i}^T\Sigma x_{i} +\beta^2}}\right)$ $\sigma_{d} = \sigma_{d} \cdot \left[ 1 - x_{i,d} \cdot \frac{\sigma_{d}^{2}}{x_{i}^T\Sigma x_{i} +\beta^2} \omega\left(Y_{i} \cdot \frac{x_{i}^T\mu}{\sqrt{x_{i}^T\Sigma x +\beta^2}} \right) \right]$

FTRL

除了Online Bayesian Learning，还有一种做法就是FTRL（Follow The Regularized Leader）。FTRL的网上资料很多，但是大部分介绍怎么样产生稀疏化解，而往往忽略了FTRL的基本原理。顾名思义，FTRL和稀疏化并没有关系，它只是一种做Online Learning的思想。

先说说FTL（Follow The Leader）算法，FTL思想就是每次找到让之前所有损失函数之和最小的参数。流程如下：

初始化 for t = 1 ... n

损失函数 $f_{t}$ 更新

$w = argmin_{w} \sum_{i=1}^{t} f_i \left (w \right)$

FTRL算法就是在FTL的优化目标的基础上，加入了正规化，防止过拟合：

$w = argmin_{w} \sum_{i=1}^{t} f_i \left (w \right) + R(w)$

其中， R(w) 是正规化项。

FTRL算法的损失函数，一般也不是能够很快求解的，这种情况下，一般需要找一个代理的损失函数。

代理损失函数需要满足几个要求：

代理损失函数比较容易求解，最好是有解析解优化代理损失函数求的解，和优化原函数得到的解差距不能太大

为了衡量条件2中的两个解的差距，这里需要引入regret的概念。

假设每一步用的代理函数是 $h_t \left( w \right)$ 每次取

$w_{t} = argmin_{w} h_{t-1} \left (w \right)$

$Regret_{t} =\sum_{t=1}^{T}f_{t}\left(w_{t}\right) - \sum_{t=1}^{T}f_{t}\left(w^{*}\right)$

其中 $w^{*} = argmin_{w} \sum_{i=1}^{t}f_i\left(w\right)$ ，是原函数的最优解。就是我们每次代理函数求出解，离真正损失函数求出解的损失差距。当然这个损失必须满足一定的条件，Online Learning才可以有效，就是：

$\lim_{t \rightarrow \infty } \frac{Regret_t}{t} = 0$

随着训练样本的增多，这两个优化目标优化出的参数的实际损失值差距越来越小。

代理函数 h_t(w) 应该该怎么选呢？如果 f_t(w) 是凸函数，我们可以用下面的代理损失函数：

$h_{t} = \sum_{i=1}^{t} g_{i}\cdot w + \sum_{i=1}^{t} \left(\frac{1}{2 \eta_{t}} - \frac{1}{2 \eta_{t-1}} \right)||w - w_{t}||^{2}$

其中 $g_{i}$ 是 f_i( w_i) 次梯度（如果是可导的，次梯度就是梯度）。 $\eta_{t}$ 满足：

$\eta_{t} = \frac{\alpha}{\sqrt{\sum_{i=1}^{t} g_{t}^{2}}}$

为了产生稀疏的效果，我们也可以加入L1正规化：

$h_{t} = \sum_{i=1}^{t} g_{i}\cdot w +\sum_{i=1}^{t} \left ( \frac{1}{2 \eta_{t}}-\frac{1}{2 \eta_{t-1}} \right )\left \| w - w_{t} \right \|^{2} +\lambda_{1}|w|$

只要 f_t(w) 是凸函数，上面的代理函数一定满足：

$\lim_{t \rightarrow \infty } \frac{Regret_t}{t} = 0$

上面的式子我们可以得出的解析解：

$w_{t+1,i} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & |z_{t,i}| \lambda_{1}\\ \newline -\eta_{t}(z_{t,i} - sgn(z_{t,i})\lambda_{1}) ) & otherwise \end{array} \right.$

wt+1,i={0−ηt(zt,i−sgn(zt,i)λ1))|zt,i|

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