周艳萍

(榆林学院，陕西 榆林 719000)

地面沉降是目前地质灾害中的一个主要灾种，它是在自然和人为因素作用下， 由于地壳表层土体压缩而导致区域性地面标高降低的一种缓变性地质现象，是一种不可补偿的永久性环境和资源损失，严重时可导致灾害[1-2]，地面沉降预测研究是地质灾害学和工程地质学等领域的重要课题之一。目前国内外对地下水超采引发的地面沉降预测模型广泛采用三维运动和固结耦合模型(MODFLID)，该模型主要适用于土层厚度变化较小的局部区域范围内的地面沉降研究，而对于土层厚度变化较大、土体空间异质性不可忽略的区域范围内的地面沉降应用研究则受到限制[3-5]。

本文以太原市地面沉降作为研究对象，自20 世纪50 年代太原市就已出现地面沉降现象，近年来随着人口的增加和城市建设的飞速发展，地下水超采现象持续严重，沉降范围和幅度逐年扩大。目前，太原市已形成了五个沉降漏斗区，最大累计沉降量达3 122 mm，成为我国地面沉降较严重的城市之一[6]。太原市地面沉降发生在典型的内陆断陷盆地内，盆地内基底构造复杂，断裂活动仍在继续，且地下水超采十分严重。因此，其沉降原因、机理及治理思路均有别于沿海地区。对此，不少学者曾做过有益的探讨和研究，方鹏飞等(2002年)[7]认为太原市的地面沉降主要是由于集中开采深层承压含水层引起的；周艳萍(2011年)[8]建立了太原市地面沉降的BP神经网络，并预测了2009～2015年地面沉降的趋势；刘媛媛等(2014)[9]采用PS-InSAR技术对太原市的20 景ENVISATASAR 影像进行数据处理，得到了该研究区的形变速率图和形变时间序列图。太原市地面沉降目前仍处于继续发展状态，未来地面沉降的发展情况受多种因素影响呈动态变化，并且是不确知的，它属于灰色系统的范畴，因此本文首次应用灰色Verhulst模型对太原市地面沉降量进行了预测。

Verhulst 模型起源于马尔萨斯 (Malthasia) 模型，该模型适用于生物繁殖初期阶段的预测，但是当生物繁殖发展到一定程度后，繁殖量的增长受各种因素影响，增长速率逐渐减缓，该模型就不再适用了。1837年德国生物学家Verhulst对马尔萨斯模型进行了修正，提出了一个新的非线性微分方程模型：

(1)

式中：a、b——常数；

p(t)——阻尼项，代表对生物繁殖不利的各种

影响。

该模型的解为：

(2)

式中：t0——为初始时刻；

p0——p(t)的初始值。

灰色Verhulst模型是在Verhulst 理论的基础上，利用灰色系统建模只需要贫信息、小样本的优势及其特定的建模方法而形成的。建立Verhulst模型时要求原始数据是S型的，否则效果不佳(图1)；而灰色Verhulst模型则是对近似的单峰型数据作一次累加，得到较好的S型后，再建立模型，这正是灰色Verhulst模型优于一般Verhulst模型之处[10]。

图1 灰色Verhulst 模型曲线Fig.1 The curve of Grey Verhulst Model

定义1：设有非负原始数据序列：S(0)={s(0)(1),s(0)(2),…,s(0)(n)}，对S(0)作一次累加为S(1)(即1-AGO)，得到：S(1)={s(1)(1),s(1)(2),…,s(1)(n)} ，Z(1)为S(1)的紧邻均值生成序列，则称S(0)+aZ(1)=b(Z(1))α为GM(1，1)模型的幂模型。式中，a为发展系数，b为灰作用量。

定义2：当α=2时，称S(0)+aZ(1)=b(Z(1))2为灰色Verhulst模型。

用最小二乘法及极值原理进行求解，模型参数a、b满足[a,b]T=(BTB)-1BTY，组合矩阵B和Y分别为：

(3)

Y=[S(0)(2),S(0)(3),…,S(0)(n)]T

(4)

灰色Verhulst模型白化方程的解为：

(5)

时间响应式为：

(6)

任意给定时间t，即可由上式求出相应的沉降量。

灰色Verhulst模型背景值的常规取法为：

Z(1)(tk+1)=0.5(S(1)(tk+1)+S(1)(tk))

(7)

Y(1)(tk+1)=0.25(S(1)(tk+1)+S(1)(tk))2

(8)

设在区间[tk,tk+1]上，有：

(9)

(10)

可以求出：

(11)

至此，可以获得改进后的背景值为：

(12)

(13)

利用(12)和(13)求出矩阵B，进而求出模型参数a和b，将其带入(6)即可求出对应的沉降量。

地面沉降的诱发因素包括自然因素和人为因素，其形式及性质是多种多样的，不同因素所诱发的地面沉降的范围、速度、持续时间也不相同。这些因素综合作用，共同决定了区域性地面沉降条件。同时，由于地质条件的隐藏性和目前勘察技术的局限性，使得许多因素不可知或知之甚少，并且很难确定各因素与地面沉降之间的定量关系。因此，区域性的地面沉降符合灰色系统的特征。

地面沉降研究的对象是土层—地质作用—人类活动这个复杂的系统，仔细考察这个系统可以发现[11]：(1)表征系统的参数是灰数。由于监测技术不完善、仪器误差、外界干扰以及其它各种原因，使得大量的实测数据在形式上是白数，实质上均可看作是在真实值的某个邻域内变化的灰数；(2)影响地面沉降的因素是灰元。在地面沉降中，有许多影响因素不完全明确，即使已经明确的又难以量化，而已经量化的却又随机变化；(3)构成系统的各种关系是灰关系，各种因素和地面沉降主行为之间的关系是灰关系。因此，土层—地质作用—人类活动这个系统是一个部分信息已知、部分信息未知的不具有物理原型的灰色系统，将灰色系统理论应用于地面沉降研究是有科学依据的。

图2 地面沉降—时间关系曲线Fig.2 The relationship curve between land subsidence and time

根据历年来太原市地面沉降的发展情况及各沉降中心的特征，本文选取了五个沉降中心中的30个典型的水准观测点自1981—1989—1994—2000—2004—2006年的累积沉降量作为原始建模数据序列。

由于所收集到的水准点累积沉降量的实测序列是不等时间间隔的，故本文利用MATLAB软件编写不等时距灰色Verhulst模型程序，分别对30个水准观测点进行建模模拟计算，限于篇幅，此处仅列出9个水准观测点的模拟值和精度检验的结果(表1)。(建模时，以前5个实测值作为建模数据序列，第6个实测值用作拟合检验。)

从表1中各项数据来看，对这些水准点的累积沉降量所建立的灰色模型中，从均方差比值C和小误差概率P可以得出所有等级均为一级(好)，精度很高。因此，本文用它来预测太原市未来的地面沉降发展趋势和程度是可行的，并且具有较高的精度。

表1 部分水准点累积沉降量的模拟结果对比表(单位：mm)

本文采用灰色Verhulst 预测模型对上述30个水准观测点在2010年与2015年的累积沉降量进行建模预测(表2)。

根据上述预测结果，对数据采用克里金插值方法，利用MAPGIS软件绘制了太原市2010年与2015年的地面沉降等值线图，详见图3和图4。

表2 2010年与2015年水准观测点的累积沉降量预测结果 (单位：m)

到2010年，地面沉降的发展概况和趋势如下：西张沉降中心外围400 mm等值线范围稍有扩大，内闭合线为700 mm；万柏林和下元沉降范围向外扩展；吴家堡虽然水位有所回升，但沉降中心继续发展，沉降速率持续减缓，外围闭合线发展为1 200 mm，内闭合线为3 200 mm；小店沉降中心的沉降范围大幅度扩大，外围闭合线为1 200 mm，最大沉降量为1 366 mm。

到2015年，地面沉降的发展情况为：与2010年相比，西张沉降中心的变化不大，基本趋于稳定状态；万柏林和下元沉降中心的地面沉降量持续增大，但年均沉降速率减缓；吴家堡的沉降幅度变化不是很大；万柏林、下元和吴家堡的沉降范围已连成一片；小店沉降中心的外围1 200 mm闭合线范围扩大，最大沉降量为1 508 mm，年均沉降速率为45 mm/a。

本文在分析地面沉降系统的灰色特性的基础上，依据不等时距灰色Verhulst模型对太原市地面沉降水准观测点的累积沉降量建立了模型，利用MATLAB软件编程计算，求出拟合结果，进行精度检验，最后预测其在2010年与2015年的发展趋势,得出以下结论：

(1)地面沉降量随时间的变化曲线与Verhulst 模型曲线相似，因而灰色Verhulst模型在地面沉降预测中是可行的。

(2)到2010年总体地面沉降范围向外扩展，吴家堡沉降中心虽继续发展，但沉降速率持续减缓，小店沉降范围扩大幅度较大。

(3)到2015年西张沉降中心基本趋于稳定状态，万柏林和下元年均沉降速率减缓，吴家堡沉降幅度变化不大，万柏林、下元和吴家堡的沉降范围已连成一片，小店中心最大沉降量发展为1 508 mm，年均沉降速率为45 mm/a。

(4)灰色Verhulst预测模型虽然有其独特的优点，但也存在着不少病态性问题，再加上实际系统的复杂多样性，如何更好地对模型进行改进，以便提高其预测精度和适用性，仍将是一个课题。

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中国地质灾害与防治学报2018年2期