几何中的最短路径问题 |
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几何问题是近几年国、联考中必考的热门题型,考查频率越来越高。其中的最短路径问题考查较多,方法性很强,通过学习可以有良好掌握,学习的性价比很高。下面公考通(www.chinagwy.org)为大家具体讲解如何解决几何中的最短路径问题。 最短路径问题考查形式通常为求点之间的最短距离,核心解题方法为平面上两点之间,线段最短。在考试中最短路径问题主要分为两大类,平面几何最短路径与立体几何最短路径。虽然题目有多种问法,但万变不离其宗,只要知识点掌握牢固、能够融会贯通,无论如何创新如何结合,我们都可以熟练解决。 平面几何最短路径问题 1.两点异侧 题型特征:求在直线异侧的两点之间的最短距离,或在直线异侧的两点到第三点的最短距离之和 解题方法:两点之间,线段最短,三点共线时距离之和最短 例1.【2011联考】火车站A和B与初始发车站C的直线距离都等于akm,站点A在发车站C的北偏东20度,站点B在发车站C的南偏东40度,若在站点A和站点B之间架设火车轨道,则最短的距离为: A. akm B. 3akm C. 2akm
D.
【解题思路】如图所示,根据题意中A在C点北偏东20度和B在C点南偏东40度可知,A、B、C三点构成顶角为120度的等腰三角形,且AB为底边。过点C做AB的中垂线,交AB于点D。根据勾股定理可得,CD=
【点评】公务员考试中,三角形求边长常用勾股定理和相似三角形。因此建议各位考生将常见三角形边长比例熟练记忆,如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本题若变形为C火车站正东建立新火车站D,求AB两点到D距离之和最短,因三点共线时距离之和最短,直接连接AB即为最短距离和。 2.两点同侧 题型特征:求在直线同侧的两点到第三点的最短距离之和 解题方法:将其中一点镜像对称,使三点共线 例1.【2019浙江】 A、B点和墙的位置如图所示。现从A点出发以5米/秒的速度跑向墙,接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达B点?
A. 30 B. 34 C. 38 D. 42
【解题思路】要用最短时间到达B点,在速度一定的情况下,需从A接触到墙后再跑到B点所走的路程最短。如图,由于A和B在墙的同侧,可考虑做其中一个点关于墙的对称点,该对称点与另一个点的连线即为最短路程。假设做A点的对称点C,最短距离为BC。CD=90米,BD=30+45+45=120米,最短距离BC=
【点评】先判断为同侧问题,需要作其中一点的对称点,再连接另外一点,用勾股定理求解。两点同侧时,对称哪一个点都可以,但是一般为了计算方便,建议对称短的那一个。 例2.【2017联考】如下图所示,某条河流一侧有A.、B.两家工厂,与河岸的距离分别为4km和5km,且A.与B.的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水,需要在距离河岸1km处建造一个污水处理厂,分别铺设排污管道连接A.、B.两家工厂。假定河岸是一条直线,则排污管道总长最短是:
A. 12km B. 13km C. 14km D. 15km
【解题思路】如下图所示,过污水处理厂做河岸的平行线HC,D为A关于HC的对称点,则最短距离为DB,由题污水厂离河1km可得A点距离到HC为HA=HD=3km,B点距离HC等于EH=4km,则DE=3+4=7km。
【点评】本题中题目AB为河流一侧,因此为两点同侧。提醒大家注意,若以河为对称轴,求的点为交点,此时污水处理厂建在河里,因此此题的对称轴是第三个点所在的水平线,过C作一条沿河岸的平行线,轴距离河岸为1km。计算时若忽略了这一点,将无法求解正确答案。 立体几何最短路径问题 题型特征:求立体图形中两点的最短距离 解题方法:将立体图形展开放在同一平面,连线计算 例1.【2019河北】长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1上,有一个蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到C_1获取食物,其路程最小值是多少cm? A. 13
B.
C. D. 17
由题干蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到
【点评】长方体最短路径问题可直接运用结论,长方体中相对的两个顶点沿表面走的最短距离为: 例2. 【2013北京】A和B为正方体两个相对的顶点,一个点从A出发沿正方体表面以最短路径移动到B,则其可选择的路线有几条: A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 【解题思路】正方体有3组对立面,如图可知每一条路线在对立面上都有一条与之对应的路线,因此每组对立面有2条路线,3组对立面共6条路线,正确答案为C。
【点评】若本题为求A到B最短距离,则可将正方体展开,将AB放在同一平面内。连接AB后,AB=
正方体最短路径问题也有有对应结论,小编建议可以直接用结论做题,正方体中相对的两个顶点最短距离为 以上就是对于几何中的最短路径问题的详细讲解。几何问题在近几年的国考、联考及单独命题省考中每年均有考查,最短路径问题大家可以看到套路性很强,希望各位考生通过学习均能对此有良好的掌握。
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