X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \bar{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}) Xˉ∼N(μ,nσ2​)，即 X ˉ − μ σ n = n ( X ˉ − μ ) σ ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1) n ​σ​Xˉ−μ​=σn ​(Xˉ−μ)​∼N(0,1) 联 合 正 态 分 布 性 质 ： 若 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 2 , σ 2 2 , ; ρ ) , 则 X 和 Y 的 线 性 组 合 a X + b Y ( a ≠ 0 或 b ≠ 0 ) 服 从 正 态 分 布 这 里 X ˉ 即 为 X 1 , X 2 , . . . , X n 的 线 性 组 合 ， 因 此 服 从 正 态 分 布 \begin{aligned} &联合正态分布性质：若(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2,;\rho), \\ & 则X和Y的线性组合aX+bY(a \neq 0 或 b\neq0)服从正态分布\\ &这里\bar{X} 即为X_1,X_2,...,X_n的线性组合，因此服从正态分布 \end{aligned} ​联合正态分布性质：若(X,Y)∼N(μ1​,μ2​;σ12​,σ22​,;ρ),则X和Y的线性组合aX+bY(a​=0或b​=0)服从正态分布这里Xˉ即为X1​,X2​,...,Xn​的线性组合，因此服从正态分布​

1 σ 2 ∑ i + 1 n ( X i − μ ) 2 ∼ X 2 ( n ) \frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i+1}^n(X_i-\mu)^2\sim\mathcal{X}^2(n) σ21​i+1∑n​(Xi​−μ)2∼X2(n) 因 为 X i ∼ i . i . d N ( μ , σ 2 ) 标 准 化 有 X i − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) 根 据 X 2 分 布 定 义 , ∑ i = 1 n ( X i − μ σ ) 2 ∼ X 2 ( n ) \begin{aligned} &因为 X_i\stackrel{i.i.d}{\sim} N(\mu,\sigma^2)\\ &标准化有\frac{X_i-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) \\ &根据\mathcal{X}^2分布定义,\sum\limits_{i=1}^n(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2\sim\mathcal{X}^2(n) \end{aligned} ​因为Xi​∼i.i.dN(μ,σ2)标准化有σXi​−μ​∼N(0,1)根据X2分布定义,i=1∑n​(σXi​−μ​)2∼X2(n)​

( n − 1 ) S 2 σ 2 = ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ σ ) 2 ∼ X 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^n(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma})^2\sim\mathcal{X}^2(n-1) σ2(n−1)S2​=i=1∑n​(σXi​−Xˉ​)2∼X2(n−1)，( μ \mu μ未知时，在(2)中用 X ˉ \bar{X} Xˉ代替 μ \mu μ)

X ˉ \bar{X} Xˉ 与 S 2 S^2 S2 相互独立， n ( X ˉ − μ ) S ∼ t ( n − 1 ) \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1) Sn ​(Xˉ−μ)​∼t(n−1) ，进一步有 n ( X ˉ − μ ) 2 S 2 ∼ F ( 1 , n − 1 ) \frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{S^2}\sim F(1,n-1) S2n(Xˉ−μ)2​∼F(1,n−1)