若尔当标准型是高等代数真正的核心与灵魂，欢迎收藏阅读。

本篇文章介绍如何判断矩阵是否可以对角化并求出其约当标准型。

如果不求过渡矩阵，求约当标准型其实很简单，看特征值的代数重数与几何重数是否相等。如果想把过渡矩阵也求出来，无论用哪种方法也避免不了大量计算。

我们知道对于一个 阶方阵 , 如果对于任意一个特征值 均满足

其中 表示矩阵的秩。这说明代数重数与几何重数相等，则这个矩阵一定能够对角化。反之，如果一个矩阵能够被对角化，也必然满足上述条件。因此这是充分必要条件。

我们知道，一个矩阵不一定能够对角化，但是一定能够被约当化，即对任意的方阵 , 均存在可逆矩阵 , 使得

其中

其中不同的 取值可以相等， 为该约当块的维数。而显然

在上式中约定 时即 次方的结果为单位矩阵，下同。因此对于任意一个特征值 来说，维数不小于 的约当块的个数为

维数不小于 的约当块的个数为

因此，维数等于 的约当块的个数为

将 看作空间 上的线性变换，用 表示经过 作用以后为零向量的子空间，用 表示经过 作用以后的像。这两者显然均是空间，因为线性映射保持着加法与数乘的关系。因此我们很容易知道，必然存在一个最小的非负整数 使得

并且显然

限于篇幅关于约当标准型的理论只讲这么多，其实约当标准型的求法以及过渡矩阵的求法均有非常直观的方法，当然约当块的维数与个数均比较多的时候，再怎么直观的方法也避免不了麻烦，尤其是求过渡矩阵，如果不求过渡矩阵，那就变得很简单了，只需要用第1, 2部分的结论就足够用了。

有了第三部分的理论，我们只需要证明幂零矩阵一定能够约当化，便证明了任意矩阵一定能够化为约当型。

约当标准型理论最有难点的地方是求过渡矩阵，我们需要求出每一个特征值的向量链。当然我们可以有从低到高和从高到低两种寻找方式。

从低到高避免不了每一级向量需要线性重组，因为我们找到的向量未必满足条件。例如属于特征值 的约当块一共有两个，维数分别为 . 则我找到的两个特征向量未必能够作为 级向量在 作用下的像，因此需要线性重组，而且继续向上找的时候需要再次线性重组，高级向量发生重组，低级的都得跟着动。

从高到低的方式则不存在这个问题。但是无论哪种方法都避免不了大量计算，需要从子空间中剖出各级向量，需要做很多向量行、列初等变换的工作。

可对角化的矩阵如果存在相同特征值的特征向量，则这些向量生成的子空间是特征子空间，在这个子空间里特征向量的选取具有任意性，从测度角度可以说是绝对自由（但是实际上不是，就像对于连续的情况概率为 的事件不意味着不可能一样）。

约当标准型也一样，对于特征值同样、维数相同的约当块，它们对应的最高级向量的选取在那个子空间里也同样具有近乎绝对的自由，之后低级向量被高级所决定。