使用幂法，计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。

A = [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ] A= \left[\begin{array}{ccc} 2 ; -1 ; 0\\ -1 ; 2 ; -1\\ 0 ; -1 ; 2 \end{array}\right] A=⎣⎡​2−10​−12−1​0−12​⎦⎤​

幂法的数学迭代公式为：

取 v ( 0 ) ≠ 0 ， α ≠ 0 ， 令 u ( 0 ) = v ( 0 ) 取 v^{(0)} \neq 0，\alpha \neq 0， 令 u^{(0)} = v^{(0)} 取v(0)̸​=0，α̸​=0，令u(0)=v(0)

v ( 1 ) = A v ( 0 ) = A u ( 0 ) v^{(1)} = A v^{(0)} = A u^{(0)} v(1)=Av(0)=Au(0)

u ( 1 ) = v ( 1 ) m a x ( v ( 1 ) ) = A v ( 0 ) m a x ( A v ( 0 ) ) u^{(1)} = \frac{v^{(1)}}{max(v^{(1)})} = \frac{A v^{(0)}}{max(A v^{(0)})} u(1)=max(v(1))v(1)​=max(Av(0))Av(0)​

v ( 2 ) = A u ( 1 ) = A v ( 1 ) m a x ( A v ( 0 ) ) = A 2 v ( 0 ) m a x ( A 2 v ( 0 ) ) v^{(2)} = A u^{(1)} = \frac{Av^{(1)}}{max(A v^{(0)})} = \frac{A^2 v^{(0)}}{max(A^2 v^{(0)})} v(2)=Au(1)=max(Av(0))Av(1)​=max(A2v(0))A2v(0)​

u ( 2 ) = v ( 2 ) m a x ( v ( 2 ) ) = A 2 v ( 0 ) m a x ( A 2 v ( 0 ) ) u^{(2)} = \frac{v^{(2)}}{max(v^{(2)})} = \frac{A^2 v^{(0)}}{max(A^2 v^{(0)})} u(2)=max(v(2))v(2)​=max(A2v(0))A2v(0)​

依次类推。

使用Matlab实现：

求解得：

i = 8 ， u ( 9 ) = ( 0.70711 , − 1 , 0.70711 ) T ， λ = m a x ( v ( 9 ) ) = 3.41422 i = 8，u^{(9)} = (0.70711, -1, 0.70711)^T，\lambda = max(v^{(9)}) = 3.41422 i=8，u(9)=(0.70711,−1,0.70711)T，λ=max(v(9))=3.41422

已知下列矩阵有特征值 λ \lambda λ 的近似值 p = 4.3 p = 4.3 p=4.3 ，用原点位移的反幂法，求对应的特征向量 u u u ，并改善 λ \lambda λ 。

A = [ 3 0 − 10 − 1 3 4 0 1 − 2 ] A= \left[\begin{array}{ccc} 3 ; 0 ; -10\\ -1 ; 3 ; 4\\ 0 ; 1 ; -2 \end{array}\right] A=⎣⎡​3−10​031​−104−2​⎦⎤​

反幂法，是基于幂法，推导出来的一个求最小特征值的方法。由于特征值的性质，可以用来求某个近似值的精确特征值。

其数学迭代方法如下：

首先，对矩阵 A − p I A - p I A−pI进行三角分解，便于以后求方程组的解。

A − p I = L U A - p I = L U A−pI=LU

求 v ( k ) v^{(k)} v(k) 时，相当于求两个三角方程组。

{ L y ( k ) = u ( k − 1 ) U v ( k ) = y ( k ) \begin{cases} L y^{(k)} = u^{(k - 1)}\\ U v^{(k)} = y^{(k)}\\ \end{cases} {Ly(k)=u(k−1)Uv(k)=y(k)​

又有：

u ( k ) = v ( k ) m a x ( v ( k ) ) u^{(k)} = \frac{v^{(k)}}{max(v^{(k)})} u(k)=max(v(k))v(k)​

使用Matlab实现：

求解得：

i = 6 ， u ( 7 ) = ( − 0.96606 , 1 , 0.15210 ) T ， λ = p + 1 m a x ( v ( k ) ) = 4.57447 i = 6，u^{(7)} = (-0.96606, 1, 0.15210)^T，\lambda = p + \frac{1}{max(v^{(k)})} = 4.57447 i=6，u(7)=(−0.96606,1,0.15210)T，λ=p+max(v(k))1​=4.57447