函数的单调性与最值

1.讨论函数的单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.

2.判断函数的单调性的方法有：（1）定义法；（2）用已知函数的单调性；（3）图象法.

一、函数单调性的判断和证明

练习：1.若函数是R上的减函数，那么（）

A. B. C. D.无法确定

2.函数在区间[－1，2]上（）

A.是增函数 B.是减函数

C.既是增函数又是减函数 D.不具有单调性

3.判断函数在上的单调性，并加以证明.

4.试讨论函数的单调性.

二、函数单调性的应用

例1.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.

解：

所以，此二次函数的对称轴为

则，的单调减区间为

因为，在区间上为减函数，

所以，对称轴必须在直线的右侧或与其重合，

则，，解得.

例2.已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围.

解：在上为增函数，且

.的取值范围是.

练习：

2.已知为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

3.是定义在上的增函数，则不等式的解集是（）

A. B. C. D.

三、利用函数的单调性求最值

例3.求函数在区间[2，5]上的最大值与最小值.

解：所以，在区间[2，5]上是单调减函数.

例4.已知函数，求的最大值、最小值.

解：当时，由得的最大值为，最小值为；

当时，由得，即.综上，.

练习：

1.函数在[1，2]上的最大值为（）

A. 1 B. 2 C.－1 D.不存在

2.函数，则的最大值为；最小值为________.

3.求函数在区间[0，1]上的最小值和最大值.

解：，对称轴，

所以，在[0，1]上是单调递减函数，

所以，.

一、选择题

1. B2. D 解析：结合函数图象进行判断.

3. C.解析：为R上的减函数，且，

.

4. A 解析：结合图象知当..

5. D 解析：由题意知：..

6. C 解析：由题意知，，又在R上是增函数，

.

二、填空题

7. 10，6.

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