不少小伙伴对\sqrt{2}、\sqrt{3}等开方近似计算问题感兴趣。本篇文章我们来探讨一下有关问题。

（A）开平方列式演算

原理如下：设 \sqrt{m}=10x+y, 则 m=(10x+y)=100x^2+20xy+y^2 ，此处假定 x 已知（初始 x 是直接估算： 100x^2 \leq m100$)} \\[-3pt] \phantom{0}4 && \hbox{($100 - 96 = 4$)} \\[-3pt] \end{array}\\

Step 3. 演算第二位小数部分如下：

\begin{array}{rll} 1. \;\; 4 \;\;\; 1 && \hbox{(Explanations)} \\[-3pt] \enclose{longdiv}{2.00,00}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{1\phantom{00,00}} && \hbox{($1^2 = 1$)} \\[-3pt] 100\phantom{,00} && \hbox{($2 - 1 = 1$)} \\[-3pt] 24\big|\underline{\phantom{}\; 96\phantom{,00}} && \hbox{($24 \times 4 = 96$)} \\[-3pt] \phantom{}400 \phantom{0,}&& \hbox{($100 - 96 = 4$)} \\[-3pt] 281\big|\underline{\phantom{}\; 281\phantom{0,}} && \hbox{($281 \times 1 = 281,282 \times 2>400$)} \\[-3pt] \phantom{}119 \phantom{0,}&& \hbox{($400 - 281 = 119$)} \\[-3pt] \end{array}\\

Step 4. 演算第三位小数部分如下：

\begin{array}{rll} 1. \;\; 4 \;\;\; 1 \;\;\; 4&& \hbox{(Explanations)} \\[-3pt] \enclose{longdiv}{2.00,00,00}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{1\phantom{00,00,00}} && \hbox{($1^2 = 1$)} \\[-3pt] 100\phantom{,00,00} && \hbox{($2 - 1 = 1$)} \\[-3pt] 24\big|\underline{\phantom{}\; 96\phantom{,00,00}} && \hbox{($24 \times 4 = 96$)} \\[-3pt] \phantom{}400 \phantom{0,00}&& \hbox{($100 - 96 = 4$)} \\[-3pt] 281\big|\underline{\phantom{}\; 281\phantom{0,00}} && \hbox{($281 \times 1 = 281$)} \\[-3pt] \phantom{}11900 \phantom{0,}&& \hbox{($400 - 281 = 119$)} \\[-3pt] 2824\big|\underline{\phantom{}\; 11296\phantom{0,}} && \hbox{($2824 \times 4 = 11296,\; 282 5\times 5>11900$)} \\[-3pt] \phantom{}604 \phantom{0,}&& \hbox{($11900 - 11296 = 604$)} \\[-3pt] \end{array}\\

后续步骤更多演算不再展示。其他数值的开方运算也可类似进行。

此套方法也可类似扩展的开三次方等运算。以开三次方为例：

（A ^\prime ）开立方列式演算

核心的运算原理如下：若 m=(10x+y)^3 ，则

m-1000x^3=y(300x^2 +30xy+y^2).\\

同样以 \sqrt[3]{2} 为例，作演算如下：

Step 1. 首先估算整数部分： 1^3=1 \leq 2\begin{array}{rll} 1. \; \; \; \; 2&& \hbox{(Explanations)} \\[-3pt] \enclose{longdiv}{2.000}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{1\phantom{000}} && \hbox{($1^3 = 1$)} \\[-3pt] 1000\phantom{} && \hbox{($2 - 1 = 1；300 \times 1^2+30 \times 1 \times 2+2^2=364$)} \\[-3pt] 364\big|\underline{\phantom{}\; 728\phantom{}} && \hbox{($ 364 \times 2 = 728, \; 3 \times (300 \times 1^2+30 \times 1 \times 3+3^2)>1000$)} \\[-3pt] \phantom{0}272 && \hbox{($1000 - 728 = 272$)} \\[-3pt] \end{array}\\

Step 3. 演算第二位小数部分如下：

\begin{array}{rll} 1. \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; 5 && \hbox{(Explanations)} \\[-3pt] \enclose{longdiv}{2.000, 000}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{1\phantom{000,000,}} && \hbox{($1^3 = 1$)} \\[-3pt] 1000\phantom{,000,} && \hbox{($2 - 1 = 1；300 \times 1^2+30 \times 1 \times 2+2^2=364$)} \\[-3pt] 364\big|\underline{\phantom{}\; 728\phantom{,000,}} && \hbox{($ 364 \times 2 = 728 $)} \\[-3pt] \phantom{0}272000 \phantom{,,}&& \hbox{($1000 - 728 = 272,300 \times 12^2+30 \times 12 \times 5+5^2=45025$)} \\[-3pt] 45025\big|\underline{\phantom{}\; 225125\phantom{0,}} && \hbox{($45025 \times 5 = 225125$)} \\[-3pt] \phantom{}46875 \phantom{0,}&& \hbox{($272000 - 225125 = 46875$)} \\[-3pt] \end{array}\\

后续步骤的演算不再展示。其他数值的开立方运算也可类似进行。

（B）Newton迭代法

这个方法的原理是利用Taylor公式来近似求解方程的零点；在涉及函数的光滑性等分析性质比较好时，这是比较通用且高效的方法（当然，对于多个零点的情况，算法是否收敛以及具体收敛到哪个零点有赖于初值位置以及诸零点的“稳定性”或吸引域）。比如 \sqrt{2} 是方程 f (x)=x^2 -2 的一个零点（另一零点为 -\sqrt{2} ）。于是Newton迭代法

x_{n+1}=x_n-\frac{f (x_n)}{f^\prime (x_n)}\\

在本问题中就成为

x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}.\\

此处，可取初始值 x_0:=1 ， 则x_1=1.5,x_2=1.41\dot{6}, x_3=1.414215... 收敛速度非常快。更精确的，有下面的估计： (假定初值x_0 \in [1,2])

|x_{n+1} -\sqrt{2}|=\frac{|x_n -\sqrt{2}|^2}{2 x_n} \leq \frac{1}{2} |x_n -\sqrt{2}|^2.\\

（C）连分数方法

本方法适用于形如 p \pm \sqrt{q} 的实数，其中 p, q 是有理数。这是因为， x=p \pm\sqrt{q} 满足下面的方程：

x^2 -2 px+(p^2 -q)=0.\\

连分数的理论告诉我们，对于上面形态的方程的零点如果是无理数，那么它的无穷连分数表示是有循环节的，类似于我们熟知的循环小数。

以 \sqrt{2} 为例，注意到 \sqrt{2}+1=2+(\sqrt{2}-1)=2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}, 我们有

\sqrt{2}=[1,2,2, \cdots]=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}.\\

设 x_n=[1;\underbrace{2,2, \cdots,2}]=\frac{p_n}{q_n} . x_0:=1. 则 p_0=q_0=1,p_1=3, q_1=2,

\begin{eqnarray*} p_{n+1}=2 p_n+p_{n-1},\\ q_{n+1}=2 q_n+q_{n-1}. \end{eqnarray*}\\

此时，根据连分数的理论

|\sqrt{2} -\frac{p_n}{q_n}|