刚开始接触循环群不容易理解，不妨以模6加法群入手，来认识循环群的特点。

首先，循环群，顾名思义，cycle group即带有循环的意思。怎么个循环法呢？

我们看中的元素{0,1,2,3,4,5}。取其中的元素1，不停地对自身进行模6加法，即对本身进行幂运算。

可得：

1^1=1

1^2=1+1=2

1^3=1+1+1=3

1^4=1+1+1+1=4

1^5=1+1+1+1+1=5

1^6=1+1+1+1+1+1=0（模6加法意义下）

1^7=1+1+1+1+1+1+1=1（模6加法意义下）

……

如上对1不断幂运算，可见两个现象：

1、可以遍历所有的元素，也可以说，我们仅用元素1就能生成所有的元素，这就是循环群里的生成元的概念。

2、幂运算的结果就是123450123450123450这样不断的循环，这就是循环群名字由来。

现在有了感性认识，可以对循环群用准确的数学语言定义，就是：

若存在a∈G使得G=,则称G是循环群，称a为G的生成元。

现在，我们继续思考，如果对其它元素进行不断的幂运算呢，会出现什么结果？

经过不断的幂运算，我们发现

元素0形成的结果只有0，可写成，结果集合为{0}，

元素2、4形成的结果是一样的，结果集合为{0,2,4}，

元素3形成的结果集合为{0,3}，

元素1、5形成的结果为{0,1,2,3,4,5}，

可见，不同的元素，有的形成的结果不同，有的却相同。我们可以按照他们生成的结果来将他们划分为不同的群体。

对于元素1、5，他们都能生成所有元素，所以他们两个元素不仅证明了这个群是循环群，还说明他们都是循环群的生成元。

他们生成了{0,1,2,3,4,5}这个子群（或者说群本身，也叫平凡子群）并且他们都是6阶元素，所谓6阶，就是a^6=e=0(幺元，或称单位元，这个群的单位元是0)。6阶也是这个群的阶数。

对于元素2、4，他们生成了子群{0,2,4}，他们都是3阶元素。

对于元素3，生成了子群{0,3}，他是2阶元素。

对于元素0，生成了子群{0}，他是1阶元素。

通过对上面的观察，我们又看出一些规律，就是：

1、n阶元素生成的子群中具有n个元素

2、一个n阶群，他具有p个不同类型的生成子群，p是n的正因子个数，比如本例中6的正因子有1,2,3,6共四个。

3、一个n阶群，他的生成元个数是与小于n且与n互为素数的个数。本例中，小于6且与6互素的数是1、5，共两个，所以这个群的生成元就正好2个。

以上规律均可证明，有兴趣可以自己进行证明，深入学习。