一般而言，解决函数的零点问题，通常研究函数的单调性，研究每一个单调区间．

如果单调区间的端点就是零点，那么该单调区间的零点确定．

如果单调区间的两个端点的函数值非零，根据零点存在性定理，若两个端点的函数值异号，则该区间上有唯一零点，若两个端点的函数值同号，则该区间上没有零点．

将所有单调区间上的零点汇总，就得到函数的所有零点．

将所有单调区间上的零点个数汇总，就得到函数所有零点的个数．

如果只求零点的个数，有必要严格地逐个单调区间讨论吗？

我们来看下面的例题：

例 已知函数f (x)＝eˣ－1－ \sqrt{x} －x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…．

(1)证明：函数f (x)在区间(1, 2)上有零点；

(2)求函数f (x)的零点个数，并说明理由．

(1)证明：由题意，f (1)＝e－30，

所以f (1)·f (2)0，

因此g (x)即f ′ (x)在(0,＋∞)上单调递增，

所以 f ′ (x)在[0,＋∞)上至多有一个零点，

所以 f (x)在[0,＋∞)上至多有两个单调区间，

所以 f (x)在[0,＋∞)上至多有两个零点．

所以 f (x)在[0,＋∞)上有且只有两个零点．

前述解题过程中，一方面，由第一问的铺垫，在(1, 2)上至少有一个零点（注意：在对区间(1, 2)的单调性讨论之前，还不能确定(1, 2)上“只有一个”零点），通过观察，发现0也是一个零点，于是，f (x)在定义域上，至少有两个零点．

另一方面，通过对f (x)的导函数的研究，发现导函数在其定义域上是整体单调的．这一点除了可以通过求二阶导来进行判断，也可以直接从导函数f ′ (x)的组成部分来看，显然第一部分指数函数eˣ，在(0,＋∞)上是单调递增的，第二部分是一个负指数幂，在(0,＋∞)上是单调递减的，前者减后者，再加上一个常数－1，当然在定义域上是单调递增的．既然导函数在其定义域上是整体单调的，那么导函数至多有一个零点，原函数f (x)至多有两个单调区间．又因为每个单调区间至多有一个零点，所以f (x)至多有两个零点．

综合这两个方面的结论，f (x)在定义域上，至少有两个零点，同时，至多有两个零点，那么，f (x)在定义域上，有且只有两个零点．

回顾一下，第一问中，我们并不需要讨论f (x)在区间(1,2)上的单调性，仅仅通过零点存在定理，得到零点存在，至少有一个．

接下来，通过对导函数的研究，我们也没有必要计算导函数的变号零点的具体数值，事实上，f ′ (x)＝0是一个含有指数运算的超越方程，没有有理根，我们还要设“隐零点”，然后还要讨论这个变号零点，也就是原函数f (x)的极值点，其函数值（极值）的正负，用来决定在极值点两侧的单调区间是否存在零点，blabla．如此，道阻且长……

我们发现，导函数是一个整体单调的，我们可以从整体上定性判断，导函数至多有一个零点，原函数f (x)至多有两个单调区间，原函数f (x)至多有两个零点．

这样，我们判断出零点不超过两个，然后又找到了两个，问题就解决了．

《孙子兵法》，混战计，总第二十二计，关门捉贼．

思考我们的解题过程：我们先关门，通过分析知晓，贼人（零点）不超过两个，然后捉贼（找零点），找到了两个，问题解决．

事实上，数学解题，就是寻找解决问题的思维与策略．本质上，与打仗兵法、下棋谋略、竞技运动（如足球的排兵布阵与战略战术）等，是相通的、可借鉴的．

再比如：

高考数学兵法：善阵者不战，善战者不败（如何设元，主元辅元过程元），专题文章，视频讲解．

高考数学兵法：一将闯五关，多路包围圈（如何设元，设元的个数问题），专题文章，视频讲解．

高考数学与世界杯：中路突破，两翼包抄（倒序相加法神级大招），专题文章，视频讲解（上）、（下）．

事实上，学好数学，关键在于是否掌握迁移能力，知识的迁移、方法的迁移、思维和策略的迁移。凡优秀者，概莫如是！

2023高考在即，为助力考生压轴题突破，全线攻克圆锥曲线、导数、数列三大难点，包括：

以及，解题策略顶层思维，数学思想融会贯通，各区一模难点串讲，各区二模难点串讲。

我将在知乎文章，陆续选取一部分发表，供考生阅读、提高。

全系内容，欢迎目标C9、数学目标145+的考生与我进一步交流。

顺祝各位考生，学习精进，金榜提名！