过一点求曲线的切线方程的三种类型

舒云水

过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒

1.

已知曲线

)

(

x

f

y



上一点

))

(

,

(

0

0

x

f

x

P

，求曲线在该点处的切线方

程﹒

这是求曲线的切线方程的基本类型，

课本上的例、

习题都是这种

类型﹒其求法为：先求出函数

)

(

x

f

的导数

)

(

x

f



，再将

0

x

代入

)

(

x

f



求

出

)

(

0

x

f



，即得切线的斜率，后写出切线方程

)

(

0

x

f

y



=

)

(

0

x

f



)

(

0

x

x



，

并化简﹒

例

1

求曲线

3

3

)

(

2

3







x

x

x

f

在点

)

1

,

1

(

P

处的切线方程﹒

解：由题设知点

P

在曲线上，

∵

x

x

y

6

3

2







，∴曲线在点

)

1

,

1

(

P

处的切线斜率为

3

)

1

(







f

，所求

的切线方程为

)

1

(

3

1









x

y

，即

4

3







x

y

﹒

2. 

已知曲线

)

(

x

f

y



上一点

))

(

,

(

1

1

x

f

x

A

，

求过点

A

的曲线的切线方

程﹒

这种类型容易出错，一般学生误认为点

A

一定为切点，事实上可

能存在过点

A

而点

A

不是切点的切线，如下面例

2

，这不同于以前学

过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：

设切点为

))

(

,

(

0

0

x

f

x

P

，先求出函数

)

(

x

f

的导数

)

(

x

f



，再将

0

x

代入

)

(

x

f



求

出

)

(

0

x

f



，

即

得

切

线

的

斜

率

（

用

0

x

表

示

）

，

写

出

切

线

方

程

)

(

0

x

f

y



=

)

(

0

x

f



)

(

0

x

x



，

再

将

点

A

坐

标

)

,

(

1

1

y

x

代

入

切

线

方

程

得

)

(

0

1

x

f

y



=

)

(

0

x

f



)

(

0

1

x

x



，

求

出

0

x

，

最

后

将

0

x

代

入

方

程