小森在公交站等车，有三路公交车均可乘坐到达目的地。A 公交车到站的时间为 0 到 10 分钟内的任一时间点，且服从 [0, 10] 的均匀分布。同样地，B 公交车到站的时间为 0 到 20 分钟内的任一时间点，C 公交车到站的时间为 0 到 30 分钟内的任一时间点。求问小森的平均等车时间？

三辆公交车分析起来比较复杂，我们可以试着先考虑只有两辆公交车的情况，弄明白了这种情况下的平均等车时间，我们自然而然就很容易推广到三辆公交车的情形。

设公交车 A 到站的时间为随机变量 X X X，那么 X X X 的取值范围为 [0, 10]，其概率密度函数为：

f X ( x ) = 1 10 , 0 ⩽ x ⩽ 10 f_X(x)=\frac{1}{10}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 10 fX​(x)=101​,0⩽x⩽10

同理，设公交车 B 到站的时间为随机变量 Y Y Y，那么 Y Y Y 的取值范围为 [0, 20]，其概率密度函数为：

f Y ( y ) = 1 20 , 0 ⩽ y ⩽ 20 f_Y(y)=\frac{1}{20}, \quad 0 \leqslant y \leqslant 20 fY​(y)=201​,0⩽y⩽20

小森的等待时间为随机变量 S S S，易知 S = m i n ( X , Y ) S=min(X, Y) S=min(X,Y)，也即等待时间为公交车内 A、B 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

f S ( s ) = { 1 10 , s = m i n ( x , y ) = x → x ⩽ y 1 20 , s = m i n ( x , y ) = y → x ; y f_S(s)=\begin{cases} \frac{1}{10}, \quad s = min(x, y)=x \to x \leqslant y \\ \frac{1}{20}, \quad s = min(x, y)=y \to x ; y \end{cases} fS​(s)={101​,s=min(x,y)=x→x⩽y201​,s=min(x,y)=y→x>y​

平均等待时间即为 S S S 的期望，

E [ S ] = ∫ f S ( s ) s d s = ∫ 0 10 1 20 ( ∫ 0 y 1 10 x d x ) d y + ∫ 10 20 1 20 ( ∫ 0 10 1 10 x d x ) d y + ∫ 0 10 1 10 ( ∫ 0 x 1 20 y d y ) d x E[S] = \int f_S(s)sds = \int_0^{10}\frac{1}{20}\Big(\int_0^{y}\frac{1}{10}xdx\Big) dy + \int_{10}^{20}\frac{1}{20}\Big(\int_0^{10}\frac{1}{10}xdx\Big) dy+ \int_0^{10}\frac{1}{10}\Big(\int_0^{x}\frac{1}{20}ydy\Big) dx E[S]=∫fS​(s)sds=∫010​201​(∫0y​101​xdx)dy+∫1020​201​(∫010​101​xdx)dy+∫010​101​(∫0x​201​ydy)dx

上式前两项代表 x ⩽ y x \leqslant y x⩽y 的情况，最后一项代表 x ; y x ; y x>y 的情况。

也可以写成下面这样的形式，

E [ S ] = ∫ f S ( s ) s d s = ∫ 0 10 1 10 ( ∫ 0 x 1 20 y d y + ∫ x 20 1 20 x d y ) d x E[S] = \int f_S(s)sds = \int_0^{10}\frac{1}{10}\Big(\int_0^{x}\frac{1}{20}ydy + \int_{x}^{20}\frac{1}{20}xdy\Big) dx E[S]=∫fS​(s)sds=∫010​101​(∫0x​201​ydy+∫x20​201​xdy)dx

外层积分代表 X X X 是 [0, 10] 上的均匀分布，内层积分的第一部分代表 x ; y x ; y x>y 的情况，第二部分代表 x ⩽ y x \leqslant y x⩽y 的情况。

最后求得 E [ X ] = 25 6 ≈ 4.1667 E[X]=\frac{25}{6}\approx4.1667 E[X]=625​≈4.1667，也即小森的平均等车时间为 4.1667 分钟。

用程序随机生成数据验证后，也可得到近似的值。

如果再增加一辆公交车 C，其到站的时间为随机变量 Z Z Z，那么 Z Z Z 的取值范围为 [0, 30]，其概率密度函数为：

f Z ( z ) = 1 30 , 0 ⩽ x ⩽ 30 f_Z(z)=\frac{1}{30}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 30 fZ​(z)=301​,0⩽x⩽30

则 S = m i n ( X , Y , Z ) S=min(X, Y, Z) S=min(X,Y,Z)，也即等待时间为公交车内 A、B、C 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

f S ( s ) = { 1 10 , s = m i n ( x , y , z ) = x 1 20 , s = m i n ( x , y , z ) = y 1 30 , s = m i n ( x , y , z ) = z f_S(s)=\begin{cases} \frac{1}{10}, \quad s = min(x, y, z)=x\\ \frac{1}{20}, \quad s = min(x, y, z)=y \\ \frac{1}{30}, \quad s = min(x, y, z)=z \end{cases} fS​(s)=⎩⎪⎨⎪⎧​101​,s=min(x,y,z)=x201​,s=min(x,y,z)=y301​,s=min(x,y,z)=z​

平均等待时间即为 S S S 的期望，

E [ S ] = ∫ f S ( s ) s d s = ∫ 0 10 1 10 ( ∫ 0 x 1 20 [ ∫ 0 y 1 30 z d z + ∫ y 30 1 30 y d z ] d y + ∫ x 20 1 20 [ ∫ 0 x 1 30 z d z + ∫ x 30 1 30 x d z ] d y ) d x E[S] = \int f_S(s)sds = \int_0^{10}\frac{1}{10}\Big(\int_0^{x}\frac{1}{20} \Big[\int_0^{y}\frac{1}{30}zdz+\int_y^{30}\frac{1}{30}ydz\Big] dy + \int_x^{20}\frac{1}{20} \Big[\int_0^{x}\frac{1}{30}zdz+\int_x^{30}\frac{1}{30}xdz\Big] dy\Big) dx E[S]=∫fS​(s)sds=∫010​101​(∫0x​201​[∫0y​301​zdz+∫y30​301​ydz]dy+∫x20​201​[∫0x​301​zdz+∫x30​301​xdz]dy)dx

最外层积分代表 X X X 是 [0, 10] 上的均匀分布，中间层积分代表 Y Y Y 是 [0, 20] 上的均匀分布，最内层四部分分别代表 x ; y   ; ;   y ; z x ; y \space\;\;\space y ; z x>y && y>z、 x ; y   ; ;   y ; z x ; y \space\;\;\space y ; z x>y && y