关于武忠祥老师“可爱因子”的提出结论的原理推导

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关于武忠祥老师“可爱因子”的提出结论的原理推导

2024-07-11 13:12| 来源: 网络整理| 查看: 265

在武忠祥老师的考研复习指导教材中，提到对n项和式的数列极限有以下两大类一般解题方法：

1.夹逼定理

2.用定积分定义式解题

其中夹逼准则利用函数的上下有界性构造，两端的函数极限相等。夹逼准则的构造很考验数学经验，在此不做深入讨论。

文章目录

结论原文理论依据推理结果

一、结论原文

结论如上所述：必须将n项合式提出 $\frac{1}{n}$ 后，才可以将求和符号下面的部分看做函数本身f(x)

即：

$\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})=\int_{0}^{1}f(x)dx$

而定积分的定义式为：在网上看见了很多关于这个问题的疑问。包括很多老师都对提出“可爱因子”的原理讨论的不够详细。故在此讨论提出的原理

$\lim_{\Delta x_{MAX}\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\varepsilon _{i})\Delta x_{i}=\int_{a}^{b}f(x)dx$

在网上看见了很多关于这个问题的疑问。包括很多老师都对提出“可爱因子”的原理讨论的不够详细。故在此讨论提出的原理二、理论依据

比较上述两式，发现最大区别在结论要求待求的和式中缺少 ${\color{Blue} \Delta x_{i}}$ 因式。在一般定积分的定义式中，为了定义的一般性， $\Delta x_{i}$ 区间大小不一；（这样，当 $\Delta x_{max}$ →0时，其余 $\Delta x_{i}$ 必然为 $\Delta x_{max}$ 的同阶或高阶无穷小，即更接近于0；)而函数值为了一般性，也不取端点，而取两端点间的任意值。这样虽然定义更具有一般性，但是Δxi就不能从求和符号下提出。

由定理可知：定积分的值在连续函数（间断点有限个的函数）的闭区间上必存在，且与区间的分法无关

故考虑均分区间的方法，才可以将 ${\color{Orange} \Delta x_{i}}$ 从求和符号下提出。

三、推理结果

如上所述，将 $\Delta x_{i}$ 长度当成 $\frac{(b-a)}{n}$ 统一提出求和符号后，括号内剩下的才是函数本身。这一思路简单直接的证明了很多同学的困惑：为什么不能直接将和式看做是函数。而（b-a）取1时，代表区间长度为1，而积分的上下限来自于函数内变量的取值范围：如上图， $k \epsilon [1,n]$ 则提出 $\frac{1}{n}$ 后上下限为[0,1]。至此问题解决。

附：手工推理笔记

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