求和符号和连乘符号 |
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求和符号和连乘符号
求和符号 ($\sum$)
普通书写方法
在数学中,我们经常需要求一个函数在一个连续区间上的和,因此我们定义了一个符号叫求和符号,其为 $\sum$,读作 $\sigma$(中文为西格玛)。 它的表示方法如下: $$ \sum_{i=a}^b f(i)=f(i)+f(i+1)+f(i+2)+\ldots+f(b-1)+f(b) $$ $a$ 可以大于 $b$ 吗当然是可以的,这种情况下求和就是倒过来的,也就是: $$ \sum_{i=a}^b f(i)=f(a)+f(a-1)+f(a-2)+\ldots+f(b-2)+f(b-1)+f(b) $$ 等价于 $\sum_{i=b}^a f(i)$ 变量一定是 $i$ 吗?不是的,很多时候还有 $j$ 和 $k$ 求和符号的其他书写方法比如: $$ \sum_{i=0}^{\infty}f(i) $$ 这种情况下允许省略上界: $$ \sum_{i=0}f(i) $$ 此外,有时候如果不写上下界也能清晰的表达出式子的意思,可以上下界都不写,或者只留迭代的变量: $$ \sum_{}a=\sum_{i=1}^{n}a_i $$ $$ \sum_{i}\sum_{j}a_{ij} $$ 求和符号的性质由乘法分配律得: $$ \sum_{i=a}^b f(i)k= k(\sum_{i=a}^b f(i)) $$ 对于数列 $1,2,3,4,5,6,7$,它们的求和也就是 $\sum_{i=a}^b i$ 为: $$ \sum_{i=a}^b i = \frac{1}{2}(b+1-a)(a+b) $$ 证明略。 连乘符号 ($\prod$)这没啥好讲的,和求和符号一样,只不过 $\sum$ 成了 $\prod$,加变乘。 也就是说 $\prod_{i=a}^b f(i)$ 等价于: $$ f(a)\times f(a+1)\times f(a+2)\times \ldots \times f(b-1)\times f(b) $$ 其中在 $a=1$,其等价于 $b!$。 2024-04-13 10:08:32 本页面贡献者: 本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供,附加条款亦可能应用 |
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