考虑一阶线性方程组： { y   1 ′ ( t ) = a 11 y 1 ( t ) + a 12 y 2 ( t ) + ⋯ + a 1 n y n ( t ) y   2 ′ ( t ) = a 21 y 1 ( t ) + a 22 y 2 ( t ) + ⋯ + a 2 n y n ( t ) … y   n ′ ( t ) = a n 1 y 1 ( t ) + a n 2 y 2 ( t ) + ⋯ + a n n y n ( t ) \begin{cases}y\ '_1(t) = a_{11}y_1(t) + a_{12}y_2(t)+\cdots+a_{1n}y_n(t)\\y\ '_2(t) = a_{21}y_1(t) + a_{22}y_2(t)+\cdots+a_{2n}y_n(t)\\\dots\\y\ '_n(t) = a_{n1}y_1(t) + a_{n2}y_2(t)+\cdots+a_{nn}y_n(t)\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​y 1′​(t)=a11​y1​(t)+a12​y2​(t)+⋯+a1n​yn​(t)y 2′​(t)=a21​y1​(t)+a22​y2​(t)+⋯+a2n​yn​(t)…y n′​(t)=an1​y1​(t)+an2​y2​(t)+⋯+ann​yn​(t)​ 将上述线性方程组可以表示为向量的形式： y ⃗   ′ ( t ) = A y ⃗ ( t ) \vec{y}\ '(t)= \textbf{A}\vec{y}(t) y ​ ′(t)=Ay ​(t)其中， y ⃗ ( t ) = [ y 1 ( t ) , … , y n ( t ) ] T \vec{y}(t)=[y_1(t),\dots,y_n(t)]^{T} y ​(t)=[y1​(t),…,yn​(t)]T,A是系数矩阵，对于任一给定的初值向量 v ⃗ = ( v 1 , … , v n ) \vec{v}=(v_1,\dots,v_n) v =(v1​,…,vn​),方程都存在唯一的解满足 y ⃗ ( 0 ) = v ⃗ ) \vec{y}(0)=\vec{v}) y ​(0)=v ),且该解可以写为如下的矩阵指数形式： y ⃗ ( t ) = e A t v ⃗ \vec{y}(t)=e^{At}\vec{v} y ​(t)=eAtv 其中 e A t e^{At} eAt定义为如下的幂级数形式： e A t = ∑ j = 0 ∞ ( A t ) j j   ! e^{At}=\sum_{j=0}^{\infin}\frac{(At)^j}{j\ !} eAt=j=0∑∞​j !(At)j​

​ 问题转化为 e A t e^{At} eAt的求解问题，下面总结其几种求解方法。

2.求解方法：

(1). Cayley-Hamilton定理：

n阶线性矩阵微分方程的解的唯一性：

定理：若A是一个 n × n n\times n n×n的常数矩阵，其特征多项式为：(零化多项式) p ( λ ) = d e t ( λ I − A ) = λ n + c n − 1 λ n − 1 + ⋯ + c 1 λ + c 0 p(\lambda)=det(\lambda\text{I}-A)=\lambda^n+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1\lambda+c_0 p(λ)=det(λI−A)=λn+cn−1​λn−1+⋯+c1​λ+c0​ 并且n阶矩阵微分方程： Φ ( n ) ( t ) + c n − 1 Φ ( n − 1 ) ( t ) + ⋯ + c 1 Φ ′ ( t ) + c 0 Φ ( t ) = 0 \Phi^{(n)}(t)+c_{n-1}\Phi^{(n-1)}(t)+\dots+c_1\Phi'(t)+c_0\Phi(t)=\textbf{0} Φ(n)(t)+cn−1​Φ(n−1)(t)+⋯+c1​Φ′(t)+c0​Φ(t)=0 满足初始条件： Φ ′ ( 0 ) = I , Φ ′ ( t ) = A , Φ ′ ′ ( 0 ) = A 2 , … , Φ ( n − 1 ) = A n − 1 \Phi'(0)=I,\Phi'(t)=A,\Phi''(0)=A^2,\dots,\Phi^{(n-1)}=A^{n-1} Φ′(0)=I,Φ′(t)=A,Φ′′(0)=A2,…,Φ(n−1)=An−1 则 Φ ( t ) = e A t \Phi(t)=e^{At} Φ(t)=eAt是n阶矩阵微分方程的唯一解。

下面给出利用上述定理求解此唯一解的方法：

定理：令A是一个 A × A A\times A A×A的常数矩阵，其特征多项式为： p ( λ ) = d e t ( λ I − A ) = λ n + c n − 1 λ n − 1 + ⋯ + c 1 λ + c 0 p(\lambda)=det(\lambda\text{I}-A)=\lambda^n+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1\lambda+c_0 p(λ)=det(λI−A)=λn+cn−1​λn−1+⋯+c1​λ+c0​ 则满足初始条件的矩阵微分方程式的解由： Φ ( t ) = e A t = x 1 ( t ) I + x 2 ( t ) A + x 3 ( t ) A 2 + ⋯ + x n ( t ) A n − 1 \Phi(t)=e^{At}=x_1(t)I+x_2(t)A+x_3(t)A^2+\dots+x_n(t)A^{n-1} Φ(t)=eAt=x1​(t)I+x2​(t)A+x3​(t)A2+⋯+xn​(t)An−1 给出，式中， x k ( t ) x_k(t) xk​(t)是n阶标量微分方程且满足如下初始条件的解： x ( n ) ( t ) + c n − 1 x ( n − 1 ) ( t ) + ⋯ + c 1 x ′ ( t ) + c 0 x ( t ) = 0 ( ∗ ) x^{(n)}(t)+c_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\dots+c_1x'(t)+c_0x(t)={0} (*) x(n)(t)+cn−1​x(n−1)(t)+⋯+c1​x′(t)+c0​x(t)=0(∗) 初始条件： { x 1 ( 0 ) = 1 x 1 ′ ( 0 ) = 0 ⋮ x 1 ( n − 1 ) ( 0 ) = 0   , { x 2 ( 0 ) = 1 x 2 ′ ( 0 ) = 0 ⋮ x 2 ( n − 1 ) ( 0 ) = 0 ⋯   { x n ( 0 ) = 1 x n ′ ( 0 ) = 0 ⋮ x n ( n − 1 ) ( 0 ) = 0 \begin{cases} x_1(0)=1\\ x'_1(0)=0\\ \vdots\\ x_1^{(n-1)}(0)=0 \end{cases} \ , \begin{cases} x_2(0)=1\\ x'_2(0)=0\\ \vdots\\ x_2^{(n-1)}(0)=0 \end{cases} \cdots\ \begin{cases} x_n(0)=1\\ x'_n(0)=0\\ \vdots\\ x_n^{(n-1)}(0)=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​x1​(0)=1x1′​(0)=0⋮x1(n−1)​(0)=0​ ,⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​x2​(0)=1x2′​(0)=0⋮x2(n−1)​(0)=0​⋯ ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​xn​(0)=1xn′​(0)=0⋮xn(n−1)​(0)=0​ 注：上述 每一组初始条件确认对应于 x k ( t ) x_k(t) xk​(t)的特解，其中上述常系数齐次线性微分方程 ( ∗ ) (*) (∗)的通解根据特征值的不同由下表给出：

(2).基于Jordan标准型：