转载自物理学渣的知乎专栏：

（1）定义：凡符合$X^2 + Y^2 = Z^2$公式的正整数我们称之为勾股数。$X$和$Y$代表两条直角边，$Z$代表斜边。

（2）凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30, 40, 50]等；无公约数的勾股数，例[3, 4, 5], [8, 15, 17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是：$X$和$Y$分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边$Z$则只能是奇数。

（3）勾股数具有以下特性：

（4）由以上定义我们推导出勾股公式：

$$X = P^2 + PQ$$

$$Y = Q^2 / 2 + PQ$$

$$Z = P^2 + Q^2 / 2 + PQ$$

此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。

（5）用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组（不含派生勾股数）。最大的一组是[315, 1972, 1997]。

斜边是1105和1885的勾股数各有4组：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（6）以任意奇数代入$P$ ，任意偶数代入$Q$ ，即可得到唯一一组勾股数。

例如$P = 5, Q = 8$，得到：$X = 25 + 5 × 8 = 65, Y = 32 + 5 × 8 = 72, Z = 25 + 32 + 5 × 8 = 97$。

它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。

（7）当$P$与$Q$有公约数时，例如9与12，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数；当$P$与$Q$无公约数时，例如9与8，再例如21与16等，推导出来的是勾股数；

（8）不存在不符合本公式的勾股数。例如有人发现趣味勾股数[88209, 90288, 126225]，它实际是个派生勾股数，它是[297, 304, 425]乘297倍而成，它是由$P = 11$和$Q = 16$导出。

（9）本文所提供的公式是依据性质第3条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。

（10）依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。

毕达哥拉斯三元组是三个自然数：$a < b < c$组成的集合，并满足$a^2 + b^2 = c^2$。例如，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$。

有且只有一个毕达哥拉斯三元组满足$a + b + c = 1000$。求这个三元组的乘积$abc$。

由素勾股数的性质可知，只需要求出素勾股数那么它的倍数也是勾股数，而要求素勾股数要借助性质四。