对于一个线性时不变离散时间系统（如下图所示），我们在之前就已经接触到了4种不同的描述方法。

H ( e j ω ) = ∑ n = 0 ∞ h ( n ) e − j ω n H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)e^{-j\omega n} H(ejω)=n=0∑∞​h(n)e−jωn

H ( z ) = ∑ n = 0 ∞ h ( n ) z − n H(z)=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)z^{-n} H(z)=n=0∑∞​h(n)z−n

y ( n ) = − ∑ k = 1 N a ( k ) y ( n − k ) + ∑ r = 0 M b ( r ) x ( n − r ) y(n)=-\sum_{k=1}^Na(k)y(n-k)+\sum_{r=0}^Mb(r)x(n-r) y(n)=−k=1∑N​a(k)y(n−k)+r=0∑M​b(r)x(n−r)

y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ x ( k ) h ( n − k ) y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty x(k)h(n-k) y(n)=x(n)∗h(n)=k=−∞∑∞​x(k)h(n−k) 上边的4种方法从不同的角度描述了一个LSI系统的物理特性，他们之间有着密切的联系，其联系的纽带就是系统的单位冲激响应 h ( n ) h(n) h(n)

对上边的第三式两边取Z变换，得 Y ( z ) = − Y ( z ) ∑ k = 1 N a ( k ) z − k + X ( z ) ∑ r = 0 M b ( r ) z − r Y ( z ) [ 1 + ∑ k = 1 N a ( k ) z − k ] = X ( z ) [ b ( 0 ) + ∑ r = 1 M b ( r ) z − r ] Y(z)=-Y(z)\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}+X(z)\sum_{r=0}^Mb(r)z^{-r}\\ \quad \\Y(z)[1+\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}]=X(z)[b(0)+\sum_{r=1}^Mb(r)z^{-r}] Y(z)=−Y(z)k=1∑N​a(k)z−k+X(z)r=0∑M​b(r)z−rY(z)[1+k=1∑N​a(k)z−k]=X(z)[b(0)+r=1∑M​b(r)z−r] 对上边的式子进行整理可得 H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = ∑ r = 0 M b ( r ) z − r 1 + ∑ k = 1 N a ( k ) z − k H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{r=0}^Mb(r)z^{-r}}{1+\sum_{k=1}^Na(k)z^{-k}} H(z)=X(z)Y(z)​=1+∑k=1N​a(k)z−k∑r=0M​b(r)z−r​ 上式 H ( z ) H(z) H(z)就被称为系统的转移函数。它即可以定义为系统单位抽样响应 h ( n ) h(n) h(n)的z变换，也可以 定义为系统的输出、输入Z变换之比。

我们之前学过的，如果已经知道系统的 h ( n ) h(n) h(n),由于 y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y(n)=x(n)*h(n) y(n)=x(n)∗h(n),则我们可以轻松的使用conv函数将其求得，但是如果我们不知道 h ( n ) h(n) h(n),已知 Y ( z ) Y(z) Y(z)、 X ( z ) X(z) X(z),需要求 y ( n ) y(n) y(n)，则我们可以根据公式， y ( n ) = − ∑ k = 1 N a ( k ) y ( n − k ) + ∑ r = 0 M b ( r ) x ( n − r ) = b ( 1 ) x ( n ) + b ( 2 ) x ( n − 1 ) + . . . + b ( n b + 1 ) x ( n − n b ) − a ( 2 ) y ( n − 1 ) − . . . − a ( n a + 1 ) y ( n − n a ) y(n)=-\sum_{k=1}^Na(k)y(n-k)+\sum_{r=0}^Mb(r)x(n-r)\\ \quad \\=b(1)x(n)+b(2)x(n-1)+...+b(n_b+1)x(n-n_b)\\ \quad \\-a(2)y(n-1)-...-a(n_a+1)y(n-n_a) y(n)=−k=1∑N​a(k)y(n−k)+r=0∑M​b(r)x(n−r)=b(1)x(n)+b(2)x(n−1)+...+b(nb​+1)x(n−nb​)−a(2)y(n−1)−...−a(na​+1)y(n−na​) 求取我们的 y ( n ) y(n) y(n),使用matlab内的一个函数 y = f i l t e r ( b , a , x ) y=filter(b,a,x) y=filter(b,a,x)其中 x 、 y 、 a 和 b x、y、a和b x、y、a和b都是向量。

已知一个系统的转移函数如下所示： H ( z ) = 0.001836 + 0.007344 z − 1 + 0.011016 z − 2 + 0.007374 z − 3 + 0.001836 z − 4 1 − 3.0544 z − 1 + 3.8291 z − 2 − 2.2925 z − 3 + 0.55075 z − 4 H(z)=\frac{0.001836+0.007344z^{-1}+0.011016z^{-2}+0.007374z^{-3}+0.001836z^{-4}}{1-3.0544z^{-1}+3.8291z^{-2}-2.2925z^{-3}+0.55075z^{-4}} H(z)=1−3.0544z−1+3.8291z−2−2.2925z−3+0.55075z−40.001836+0.007344z−1+0.011016z−2+0.007374z−3+0.001836z−4​ 求该系统的阶跃响应。

其运行结果为：

在我们得到上边的情况下，如果我们想要得到该系统的单位抽样响应，编辑mtalab代码如下：

其显示结果如下所示：

输出图像如下所示：

数字信号处理理论、算法与实现（第三版）