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第二节 两条直线的位置关系考纲解读1．能根据两直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3．掌握两点间距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离.命题趋势探究从内容上看，主要考查两直线平行、垂直的判定，点到直线的距离，两平行线间的距离及对称问题，从考查形式上看，以选择和填空为主.预测2019年高考中，两直线平行和垂直关系的判定与应用将是考查的热点，常与充要条件相结合.另外对称问题也常在高考试题中出现，备考时应多加注意.知识点精讲一、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表9-1所示.两直线方程 平行 垂直(斜率存在)(斜率不存在) 或 或中有一个为0，另一个不存在.二、三种距离1．两点间的距离平面上两点的距离公式为.特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离2．点到直线的距离点到直线的距离特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离3.两条平行线间的距离已知是两条平行线,求间距离的方法:(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.(2)设,则与之间的距离注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.题型归纳及思路提示题型122 两直线位置关系的判定思路提示判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断,也可以按照以下方法判断:一般地,设(不全为0), (不全为0),则:当时,直线相交;当时, 直线平行或重合,代回检验;当时, 直线垂直,与向量的平行与垂直类比记忆.例9.10 “a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由a=2得直线方程2x+2y=0，即直线x+y=0与x+y=1平行，反之，由直线ax+2y=-平行于直线x+y=1，得a=2.故“a=2”是“直线2x+2y=0平行于直线x+y=1”的充分必要条件，故选C.变式1 设，则“a=1”是“直线与直线平行”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 当//时，解得或当时，当时，故或又“小推大”，故选变式2 “”是“直线与直线相互垂直”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析 两直线垂直的充要条件是解析 由两条直线垂直的等价条件得，即得或因此，“”是“直线与直线 相互垂直”的充分不必要条件.故选B.例9.11 已知直线和直线（1）当时，求a的值；（2）当时，求a的值.解析 （1）由，得，解得a=-1或2.当a=-1时，当a=2时，与重合，故舍去.故当时，a的值为-1.（2）由，得，即，得变式1 若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=__________.解析 因为直线与直线相互垂直，所以得变式2 已知直线，问m为何值时：（1）；（2）与重合；（3）与相交；（4）与垂直.解析 (1)由得或当时，即重合；当时，即故时，.(1)当时，；(2)当时，重合；(3)由得且所以当且时，相交；当时，也相交，即且时，相交.(4)由得所以当时，垂直.评注 运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线的位置关系时，要紧紧抓住及之间的关系，需要注意的是“有斜率”这一前提条件，否则回事解题不严谨甚至导致错误.判断两直线平行，垂直，重合时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率不存在的情况，在两条直线的斜率均存在且均不重合的条件下有：与在斜率不存在或为零的情况下讨论两直线的位置关系宜用数形结合法求解.题型123 有关距离的计算思路提示两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构.例9.12 （1）已知点P(4,1)，则点P到直线的距离为________;（2）已知点（a,2）到直线的距离为，则a=________;（3）过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行，则两点间的距离|AB|为__________.解析 （1）距离（2）由题意得，故a=1或a=-3.（3）解法一：由题意可知，故解法二：如图9-4所示，过点B作x轴的垂线与过点A作y轴垂线的反向延长线相交于点C，则由题意知，且，则变式1 点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，则点P的坐标为（ ）A. （1，2） B. （2，1） C. （1，2）或（2，-1） D. （2，1）或（-1，2）解析 依题意可设点的坐标为 则所以得或所以点坐标是或故选评注 本题也可求出与直线平行且距离为的直线方程，再与直线联立，求得交点坐标.变式2 若直线l过点P(1,2)且与点A(-1,2),B(3,0)两点距离相等，则直线l的方程为_____解析 由平面几何知识知，或 过的中点.①若，则由点斜式可得直线方程为即②若过的中点则直线方程为综上所述，所求直线方程为或变式3 若点P(x,y)在直线上运动，则的最小值为________解析 解法一：故当时，解法二：设原点为则例9.13 已知直线，则与之间的距离为（ ）A. 1 B. C. D. 2解析 与之间的距离故选B.变式1 直线与直线的距离是（ ）.A. B. C. D.解析 故选.评注 在运用平行线间距离公式时，应使得两直线和的对应系数相等.变式2 到直线 的距离为的点的轨迹方程是（ ）A.直线2x+y-2=0B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0解析 解法一：设动点满足题设，则即则有或解法二：由题设可知，所求轨迹是与直线平行的直线且故其方程可设为则解得或.故或故选变式3 已知三直线和，且与的距离是（1）求a 的值；（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是.若能，求点P坐标；若不能，请说明理由.解析 (1) 所以与之间的距离为：因为所以(2)设存在点满足②，则点在与平行的直线，可设且即或所以或若点满足条件③，则由点到直线的距离公式有：即所以或(舍去，因为点在第一象限)，由得(舍)； 由得所以点 由即为同时满足条件的点.例9.14 过点P（1，2）且与原点O距离最大的直线方程是（ ）A.x+2y-5=0 B. x-2y+2=0C. x+3y-7=0 D.3x+y-5=0解析 解法一：如图9－5所示，设点，且线段OP与直线l的夹角为则距离，当且仅当时取等号.此时，故所以直线，即故选A.解法二：设所求直线方程,即.则原点到直线l的距离当且仅当向量，即时取等号.此时，即评注： 本题解法一充分运用了数形结合的数学思想.解法二中运用了柯西(Cauchy)不等式：，其坐标形式为：，当且仅当a//b，即时取等号.变式1 已知两条互相平行的动直线分别过，则之间的距离最大值为_________;当之间的距离最大时，直线的方程分别为__________,____________.解析 设线段与直线的夹角为则距离当且仅当时取等号.此时故直线的斜率为所以直线即又故即题型124 对称问题思路提示（1）中心对称问题转化为中点问题.①求点关于点中心对称的点.由中点坐标公式得②求直线l关于点中心对称的直线求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）.（2）轴对称问题转化为对称点连线被对称轴垂直平分.①求点关于直线对称的点方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得②求直线l关于直线对称的直线若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等.此时分别为，由，求得，从而得若直线l与不平行，则.在直线l上取异于Q的一点，先由（2）①中的方法求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）.例9.15 （1）点A（1，2）关于点M(3,4)对称的点的坐标为____________（2）直线关于点M(1,2)对称的直线方程为_____________（3）点A(1,2)关于直线对称的点的坐标为______________（4）直线关于直线对称的直线方程为_____________解析 （1）设对称点的坐标为，则，得，故所求对称点的坐标为(5,6).（2）设直线l关于点M(1,2)对称的直线为，则，故设则解得或-3（此时与l重合，舍去）.故（3）设对称点的坐标为，先求经过点A(1,2)且垂直于的直线.，即由，解得，即线段的中点为所以，解得，故所求对称点的坐标为（4）由，解得即.取直线l上一点，下面求关于直线对称的点.由，得，即所以故得所求对称直线即.评注 特殊结论：已知直线l关于直线对称的直线是，若直线的斜率，则（其中分别是直线l与的斜率），如本例（4）中所求对称直线的斜率为.简证：首先易知：若直线l关于直线对称的直线是，则经过它们的交点（假定相交）且垂直于的直线也是l与的同，故只证的情形.然后把每条直线都平移至过原点O，所得直线分别为，且不妨在直线上取异于O的点，则关于对称的点为故，所以，得证.变式1 （1）求点P(4,5)关于点M(3,-2)对称的点Q的坐标；（2）求点P(4,5)关于直线对称的点Q的坐标；（3）直线与关于点A(4,6)对称，求b的值；（4）求直线关于直线对称的直线方程.解析 (1)设点的坐标为则得故点的坐标为(2)设点关于直线的对称点为则得故点的坐标为(3)依题意，点到直线与直线的距离相等，则得即(4)解法一：联立解得则与的交点为在上取一点关于对称点则有：解得由两点式得即解法二：因为对称轴直线的斜率为1，故利用“一解一代法”.设直线上点的坐标为关于直线对称的点坐标为则将代入直线方程得：即例9.16 在中，已知顶点A(2,2)，的平分线所在直线的方程为y=0,的平分所在直线的方程为x+y-1=0,求边BC所在直线的方程.分析 用待定系数法直接求解边BC所在直线的议程难度较大，故考虑角平分线的性质，如图9－6所示，利用角平分线的性质（对称性）可知，点A关于的平分线的对称点均在直线BC上，故可以求两对称点所在直线的方程.解析 如图9－7所示，设点A关于直线的对称点为D，则D(2,-2)设点A关于直线的对称点为，则，解得，即所以直线DE的斜率为，则直线DE的方程为，即故边BC所在直线方程为变式1 如图9-8所示，已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经过直线AB反射后再射到OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（ ）A. B.6 C. D.解析 分别求点关于直线及轴的对称点，由光学知识知，光线所经路程即故选变式2 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点P（如图9-9所示）.若光线QR经过的重心，则AP等于（ ）A.2 B.1 C. D.分析 以点为原点，建立平面直角坐标系求解，利用点关于直线对称性求解.解析 分别以所在直线为轴，轴，为原点建立如图9—23所示的平面直角坐标系.因为故设点为线段上的点，点关的对称点，点关于的对称点由光的反射原理知，点一定在直线上，又的重心坐标为由题意知点在线段上，即三点共线.因为所以，解得即故选最有效训练题39（限时45分钟）1.若直线ax+2y+6=0和直线垂直，则a的值为（ ）A. B.0 C.或0 D.-32.已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行，则a=( )A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或-33.直线y=3x绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得直线（ ）A. B. C. D.4.设a,b,c分别是中角A,B,C所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直5.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）A. B. C. D.6.若三直线能围成三角形，则（ ）A. B. C.和 D.和7.点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点坐标为__________8.过点P(-1,2)且与点A(2,3)和B(-4,5)距离相等的直线l的方程为_____________9.若直线与的交点在第一象限，则实数k的取值范围为___________10.已知两条直线和，求满足下列条件的a,b的值.（1），且过点（-3，-1）；（2），且坐标原点到这两条直线的距离相等.11.求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线l的方程.12.已知直线，点A(-1,-2),求：（1）点A关于直线l的对称点的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线的方程；（3）直线l关于点A(-1,-2)对称的直线的方程.最有效训练题391. 解析 依题意得或故选2. 解析 由条件知所以或故选3. 解析 设的斜率为所以所以再向右平移一个单位，得到即故选4. 解析 由已知得所以两直线的斜率分别由正弦定理得则所以两直线垂直.故选5. 解析 因为所以又因为所以所以故选6. 解析 由得交点若在直线上，则此时三条直线交于一点；当时，直线与平行；当时，直线与平行.综上所述，要使三条直线能围成三角形，应有当和故选7.或 解析 设点则有解得或所以点坐标为或8.或 解析 解法一：当直线的斜率存在时，设直线的方程为：即：由题意知即所以所以直线的方程为即.当直线的斜率不存在时，直线方程为，也符合题意.解法二：当在直线的同侧，即∥时，有直线的方程为即.当在直线的异侧，即过的中点时，的中点为故直线为故所求直线的方程为或.9. 解析 解法一：先求与的交点然后解不等式组求的取值范围，此想法很自然，但运算量较大，解略.解法二：注意到表示经过定点且斜率为的直线系，而过点于是由过两点的直线斜率公式可得从而10.解析 (1)由已知可得的斜率必存在，所以若则因为所以直线的斜率必存在，即又因为过点所以即(与矛盾).所以此种情况不存在，即若即都存在，因为所以即 ①又因为过点所以 ②由①②联立，解得(2)因为的斜率必存在，∥所以直线的斜率存在，所以即 ③又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且∥所以，在轴上的截距互为相反数，即 ④由③④联立，解得或11.解析 解法一：先解方程组得与的交点再由的斜率 求出的斜率为于是由直线的点斜式方程求出即解法二：因为，故是直线系中的一条，而过与的交点故 由此求出故的方程为解法三：因为过与的交点，所以是直线系中的一条，将其整理，得其斜率解得代入直线系方程，即得的方程为12.解析 (1)设再由轴对称性质得解得 所以(2)解法一：在直线上取一点，如则关于直线的对称点必在直线上.设对称点为则解得设与的交点为则由得又因为经过点所以由两点式得直线方程为解法二：设上任意点关于的对称点则在直线上.由题意可知，解得代入直线得解得(3)设为上任意一点，则关于点的对称点为因为点在直线上，所以即第二节 两条直线的位置关系考纲解读1．能根据两直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3．掌握两点间距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离.命题趋势探究从内容上看，主要考查两直线平行、垂直的判定，点到直线的距离，两平行线间的距离及对称问题，从考查形式上看，以选择和填空为主.预测2019年高考中，两直线平行和垂直关系的判定与应用将是考查的热点，常与充要条件相结合.另外对称问题也常在高考试题中出现，备考时应多加注意.知识点精讲一、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表9-1所示.两直线方程 平行 垂直(斜率存在)(斜率不存在) 或 或中有一个为0，另一个不存在.二、三种距离1．两点间的距离平面上两点的距离公式为.特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离2．点到直线的距离点到直线的距离特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离3.两条平行线间的距离已知是两条平行线,求间距离的方法:(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.(2)设,则与之间的距离注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.题型归纳及思路提示题型122 两直线位置关系的判定思路提示判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断,也可以按照以下方法判断:一般地,设(不全为0), (不全为0),则:当时,直线相交;当时, 直线平行或重合,代回检验;当时, 直线垂直,与向量的平行与垂直类比记忆.例9.10 “a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变式1 设，则“a=1”是“直线与直线平行”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变式2 “”是“直线与直线相互垂直”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件例9.11 已知直线和直线（1）当时，求a的值；（2）当时，求a的值.变式1 若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=__________.变式2 已知直线，问m为何值时：（1）；（2）与重合；（3）与相交；（4）与垂直.题型123 有关距离的计算思路提示两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构.例9.12 （1）已知点P(4,1)，则点P到直线的距离为________;（2）已知点（a,2）到直线的距离为，则a=________;（3）过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行，则两点间的距离|AB|为__________.变式1 点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，则点P的坐标为（ ）A. （1，2） B. （2，1） C. （1，2）或（2，-1） D. （2，1）或（-1，2）变式2 若直线l过点P(1,2)且与点A(-1,2),B(3,0)两点距离相等，则直线l的方程为_____变式3 若点P(x,y)在直线上运动，则的最小值为________例9.13 已知直线，则与之间的距离为（ ）A. 1 B. C. D. 2变式1 直线与直线的距离是（ ）.A. B. C. D.变式2 到直线 的距离为的点的轨迹方程是（ ）A.直线2x+y-2=0B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0变式3 已知三直线和，且与的距离是（1）求a 的值；（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是.若能，求点P坐标；若不能，请说明理由.例9.14 过点P（1，2）且与原点O距离最大的直线方程是（ ）A.x+2y-5=0 B. x-2y+2=0C. x+3y-7=0 D.3x+y-5=0变式1 已知两条互相平行的动直线分别过，则之间的距离最大值为_________;当之间的距离最大时，直线的方程分别为__________,____________题型124 对称问题思路提示（1）中心对称问题转化为中点问题.①求点关于点中心对称的点.由中点坐标公式得②求直线l关于点中心对称的直线求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）.（2）轴对称问题转化为对称点连线被对称轴垂直平分.①求点关于直线对称的点方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得②求直线l关于直线对称的直线若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等.此时分别为，由，求得，从而得若直线l与不平行，则.在直线l上取异于Q的一点，先由（2）①中的方法求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）.例9.15 （1）点A（1，2）关于点M(3,4)对称的点的坐标为____________（2）直线关于点M(1,2)对称的直线方程为_____________（3）点A(1,2)关于直线对称的点的坐标为______________（4）直线关于直线对称的直线方程为_____________变式1 （1）求点P(4,5)关于点M(3,-2)对称的点Q的坐标；（2）求点P(4,5)关于直线对称的点Q的坐标；（3）直线与关于点A(4,6)对称，求b的值；（4）求直线关于直线对称的直线方程.例9.16 在中，已知顶点A(2,2)，的平分线所在直线的方程为y=0,的平分所在直线的方程为x+y-1=0,求边BC所在直线的方程.分析 用待定系数法直接求解边BC所在直线的议程难度较大，故考虑角平分线的性质，如图9－6所示，利用角平分线的性质（对称性）可知，点A关于的平分线的对称点均在直线BC上，故可以求两对称点所在直线的方程.变式1 如图9-8所示，已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经过直线AB反射后再射到OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（ ）A. B.6 C. D.变式2 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点P（如图9-9所示）.若光线QR经过的重心，则AP等于（ ）A.2 B.1 C. D.最有效训练题39（限时45分钟）1.若直线ax+2y+6=0和直线垂直，则a的值为（ ）A. B.0 C.或0 D.-32.已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行，则a=( )A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或-33.直线y=3x绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得直线（ ）A. B. C. D.4.设a,b,c分别是中角A,B,C所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直5.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）A. B. C. D.6.若三直线能围成三角形，则（ ）A. B. C.和 D.和7.点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点坐标为__________8.过点P(-1,2)且与点A(2,3)和B(-4,5)距离相等的直线l的方程为_____________9.若直线与的交点在第一象限，则实数k的取值范围为___________10.已知两条直线和，求满足下列条件的a,b的值.（1），且过点（-3，-1）；（2），且坐标原点到这两条直线的距离相等.11.求经过直线和的交点，且垂直于直线的直线l的方程.12.已知直线，点A(-1,-2),求：（1）点A关于直线l的对称点的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线的方程；（3）直线l关于点A(-1,-2)对称的直线的方程.

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