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(共40张PPT)数学-RJ·A-选择性必修第一册第二章　直线和圆的方程2.3　直线的交点坐标与距离公式2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式学习目标1.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.2.探索并掌握两点间的距离公式.重点：两条直线的交点坐标、两点间的距离.难点：两条直线的交点坐标的求解与应用、坐标法求解几何问题.知识梳理一、两条直线的交点坐标思考：已知两条直线l1：A1x+B1y+C1＝0，l2：A2x+B2y+C2＝0相交，它们的交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.知识拓展：方程组解的组数与两条直线的位置关系二、两点间的距离公式探究：如图，已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1，P2间的距离|P1P2|？特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）间的距离|OP|＝.思考:你能利用P1（x1，y1），P2（x2，y2）构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？提示：利用勾股定理推导两点间距离公式，过程如下：如图，从点P1，P2分别向y轴和x轴作垂线P1N1和P2M2，垂足分别为N1（0，y1）和M2（x2，0）.直线P1N1与P2M2相交于点Q.在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2+|QP2|2.为了计算|P1Q|和|QP2|，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1（x1，0）；过点P2向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2）.于是有|P1Q|＝|M1M2|＝|x2-x1|，|QP2|＝|N1N2|＝|y2-y1|.所以，|P1P2|2＝|x2-x1|2+|y2-y1|2.比较两种方法可知，利用向量推导较简洁.常考题型一、两条直线的交点坐标二A3.是否存在实数a，使三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0能围成一个三角形？请说明理由.二、两点间距离公式的应用例2 ［2020·江西省横峰中学高一月考］已知直线过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1＝0，l2：x+y+6＝0截得的线段长为5，求直线的方程.【名师点拨】从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法可以优化解题过程.这些解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能.另外，灵活运用图形的几何性质，如对称，线段垂直平分线的性质等，同样是很重要的.训练题1.［2020·湖北荆州高一测试］已知A（5，2a-1），B（a+1，a-4），当|AB|取最小值时，实数a的值是 （　）A.- B.- C. D.2.［2020·陕西渭南高一检测］点M到x轴和到点N（-4，2）的距离都等于10，则点M的坐标为　 　 　　.（2，10）或（-10，10）C3.（1）已知点A（a，3），B（3，3a+3）的距离为5，求a的值.（2）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-a，0），B（a，0），C（0， a）.求证：△ABC是等边三角形.三、直线系方程的应用例3 求经过直线l1：3x+2y-1＝0和l2：5x+2y+1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x-5y+6＝0的直线l的方程.◆三种常见的直线系方程的设法1.平行于直线Ax+By+C＝0的直线系方程为Ax+By+λ＝0（λ≠C）.2.垂直于直线Ax+By+C＝0的直线系方程为Bx-Ay+λ＝0.3.过两条已知直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+ B2y+C2＝0交点的直线系方程为A1x+ B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）＝0（不包括直线A2x+B2y+C2＝0）.训练题 1.［2020·江苏省扬州中学高一月考］求经过两直线2x-3y-3＝0和x+y+2＝0的交点且与直线3x+y-1＝0平行的直线方程.2.求证：无论m取什么实数，直线（2m-1）x+（m+3）y-（m-11）＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.◆求定点的方法1.直接法:将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点.2.特殊值法:取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点.3.方程法:将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点.四、对称问题例4 在直线l：3x-y-1＝0上求一点P，使得：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小.【解题提示】设B关于l的对称点为B′，AB′与l的交点P满足（1）；设C关于l的对称点为C′，AC′与l的交点P满足（2）.事实上，对（1），若P′是l上异于P的点，则|P′A|-|P′B|＝|P′A|-|P′B′||AC′|＝|PA| +|PC|.◆利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要解决在直线上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线的交点即可.对于在直线上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.训练题1.［2020·辽宁大连高一检测］直线y＝2x-4与y＝x+2关于直线l对称，则直线l的方程为 （　　）A.y＝x+1 B.y＝-x+8C.y＝x D.y＝-x+8或y＝x2.［2020·贵州铜仁高一月考］已知直线l被两条直线l1：4x+y+3＝0和l2：3x-5y-5＝0截得的线段的中点为P（-1，2），则直线l的一般式方程为　　 　.D3x+y+1＝03.［2020·安徽芜湖高二月考］已知点M（3，5），在直线 ：x-2y+2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小.4.已知直线l：y＝3x+3，求：（1）点P（4，5）关于直线l的对称点坐标；（2）直线y＝x-2关于直线l对称的直线的方程；（3）直线l关于点A（3，2）对称的直线的方程.◆对称问题主要题型及解法1.点关于点对称点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解.点M（a，b）关于点（x0，y0）的对称点为M′（2x0-a，2y0-b）.2.直线关于点对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程.或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程.4.直线关于直线对称直线l1：A1x+B1y+C1＝0关于直线l：Ax+ By+C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式可求出直线l2的方程.五、坐标法的应用例5 在△ABC中，D为BC边上任意一点（D与B，C不重合），且AB2＝AD2+BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形.【证明】如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0）（b∵ AB2＝AD2+BD·DC，∴ b2+a2＝d 2+a2+（d-b）（c-d），∴ -（d-b）（b+d）＝（d-b）（c-d）.又∵ d-b≠0，∴ -b-d＝c-d，即-b＝c.∴ AB＝AC，故△ABC为等腰三角形.◆坐标法应用的注意点一些平面几何问题用坐标法解决更简单，但要把坐标系建立在适当的位置上，注意利用图形的几何性质.（1）要使尽可能多的点、直线落在坐标轴上.（2）若图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴.（3）考虑图形的对称性，可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴.事实上，建立不同的平面直角坐标系，相关点的坐标不同，但不影响最后的结果.训练题 ［2020·湖北荆州高一检测］已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系.证明：AM＝BC.小结知易行难，重在行动千里之行，始于足下谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！详情请看：https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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