三维空间中的直线和平面与二维空间中的性质有一定的类似之处，但是其相交关系的求解方式有所差异。本文回顾了三维空间中直线和平面的解析表达，然后推导线-线、线-面交点。

空间平面的表达式为： A x + B y + C z + D = 0 (1) Ax+By+Cz+D=0\tag{1} Ax+By+Cz+D=0(1) 包含了4个参数 A , B , C , D A,B,C,D A,B,C,D， ( A , B , C ) (A,B,C) (A,B,C)是平面的一个法向量。但是它们并非独立的，即法向量的长度可以是任意的。 若限定 A , B , C A,B,C A,B,C三个参数满足： A 2 + B 2 + C 2 = 1 (2) A^2+B^2+C^2=1\tag{2} A2+B2+C2=1(2) 此时 ( A , B , C ) (A,B,C) (A,B,C)是平面的单位法向量， D D D表示坐标原点到该平面的距离。方便起见，下面的讨论默认平面的A,B,C参数满足(2)式。

本质上，空间平面仅需要三个参数确定： ( n x , n y , 1 ) (n_x,n_y,1) (nx​,ny​,1)描述其法向量（仅需2参数）， d d d描述其到原点的距离，表达式为 n x x + n y y + z + d = 0 n_x x+n_y y+z+d=0 nx​x+ny​y+z+d=0，与(1)是等价的。

空间直线的一种表达是：两个平面的交。用 π 1 , π 2 \pi_1,\pi_2 π1​,π2​表示两个不平行、不共面的平面，则一条空间直线可以表达为 l = π 1 ∩ π 2 → l = { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 l=\pi_1\cap\pi_2\rightarrow l=\begin{cases}A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0\\A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0\end{cases} l=π1​∩π2​→l={A1​x+B1​y+C1​z+D1​=0A2​x+B2​y+C2​z+D2​=0​

显然，这种表达方式不是唯一的。一条空间直线可能是无数对平面的交线。 空间直线更常用的表达式为： x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0​​=by−y0​​=cz−z0​​

包含6个参数 x 0 , y 0 , z 0 , a , b , c x_0,y_0,z_0, a,b,c x0​,y0​,z0​,a,b,c， ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)是直线的方向向量，其长度任意，因而相当于只有两个独立参数； ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)是直线上一点。因此，一条空间直线只需要5个独立参数即可描述。

点 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1​,y1​,z1​)到平面 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0的距离为：

d = ∣ A x 1 + B y 1 + C z 1 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\dfrac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2 ​∣Ax1​+By1​+Cz1​+D∣​

点 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1​,y1​,z1​)到直线 x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0​​=by−y0​​=cz−z0​​的距离为：

d = ∣ ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) × ( a , b , c ) ∣ a 2 + b 2 + c 2 d=\dfrac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\bold{\times} (a,b,c)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} d=a2+b2+c2 ​∣(x1​−x0​,y1​−y0​,z1​−z0​)×(a,b,c)∣​

表达式中为何出现叉积？这是因为， ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ ∣ sin ⁡ θ ∣ |a\times b |=|a||b||\sin\theta| ∣a×b∣=∣a∣∣b∣∣sinθ∣，而 d d d恰恰就等于 ∣ ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) ∣ ∗ ∣ sin ⁡ θ ∣ |(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)|*|\sin\theta| ∣(x1​−x0​,y1​−y0​,z1​−z0​)∣∗∣sinθ∣。

两条直线 x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0​​=by−y0​​=cz−z0​​、 x − x 1 a ′ = y − y 1 b ′ = z − z 1 c ′ \dfrac{x-x_1}{a'}=\dfrac{y-y_1}{b'}=\dfrac{z-z_1}{c'} a′x−x1​​=b′y−y1​​=c′z−z1​​，分别通过点P1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)和P2 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1​,y1​,z1​)。 两条直线方向向量的叉积即为待求距离所在的方向，我们记作 N = ( a , b , c ) × ( a ′ , b ′ , c ′ ) N=(a,b,c)\times(a',b',c') N=(a,b,c)×(a′,b′,c′) 则它们之间的距离为：

d = ∣ ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) ⋅ N ∣ ∣ ∣ N ∣ ∣ d = \dfrac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\cdot N|}{||N||} d=∣∣N∣∣∣(x1​−x0​,y1​−y0​,z1​−z0​)⋅N∣​ 其中， ∣ ∣ ∗ ∣ ∣ ||*|| ∣∣∗∣∣表示取模。

两条直线 x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0​​=by−y0​​=cz−z0​​、 x − x 1 a ′ = y − y 1 b ′ = z − z 1 c ′ \dfrac{x-x_1}{a'}=\dfrac{y-y_1}{b'}=\dfrac{z-z_1}{c'} a′x−x1​​=b′y−y1​​=c′z−z1​​，分别通过点P1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)和P2 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1​,y1​,z1​)。 若两条空间直线相交，则它们必共面。与求解直线的距离类似，为了求两条空间直线的交点，首先计算两条直线方向向量的叉积 N N N。

由于两条直线的方向向量已知，所以求交点 C C C的问题，可以转化为求解CP1长度的问题。将CP1长度记为L，如图所示，显然有：

L = d / ∣ cos ⁡ θ ∣ L=d/|\cos\theta| L=d/∣cosθ∣

而 d d d即P1点到另一直线的距离。即有： d = ∣ ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) × ( a ′ , b ′ , c ′ ) ∣ a ′ 2 + b ′ 2 + c ′ 2 d=\dfrac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\bold{\times} (a',b',c')|}{\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}} d=a′2+b′2+c′2 ​∣(x1​−x0​,y1​−y0​,z1​−z0​)×(a′,b′,c′)∣​

两直线夹角的余弦为： ∣ cos ⁡ θ ∣ = a a ′ + b b ′ + c c ′ a 2 + b 2 + c 2 a ′ 2 + b ′ 2 + c ′ 2 |\cos\theta|=\dfrac{aa'+bb'+cc'}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}} ∣cosθ∣=a2+b2+c2 ​a′2+b′2+c′2 ​aa′+bb′+cc′​ 那么，由于距离d没有符号，C点坐标为： C = P 1 + L ⋅ ( a , b , c ) 或 C = P 1 − L ⋅ ( a , b , c ) C=P1+L\cdot (a,b,c)\text{或}C=P1-L\cdot (a,b,c) C=P1+L⋅(a,b,c)或C=P1−L⋅(a,b,c) 为确定C坐标为上面两个结果中的哪一个，将它们代入直线 l 2 l_2 l2​的表达式，误差较小的那个就是真正的交点。

设未知数t，由于C在直线 l 1 l_1 l1​上，其坐标可以表达为 ( x 0 + t a , y 0 + t b , z 0 + t c ) (x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc) (x0​+ta,y0​+tb,z0​+tc)；代入直线 l 2 l_2 l2​的表达式，有：

{ x 0 + t a − x 1 a ′ = y 0 + t b − y 1 b ′ x 0 + t a − x 1 a ′ = z 0 + t c − z 1 c ′ \begin{cases}\dfrac{x_0+ta-x_1}{a'}=\dfrac{y_0+tb-y_1}{b'}\\\dfrac{x_0+ta-x_1}{a'}=\dfrac{z_0+tc-z_1}{c'}\\\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​a′x0​+ta−x1​​=b′y0​+tb−y1​​a′x0​+ta−x1​​=c′z0​+tc−z1​​​

由上面两式，可分别求出两个t值：

t 1 = ( x 1 − x 0 ) b ′ − ( y 1 − y 0 ) a ′ a b ′ − a ′ b t 2 = ( x 1 − x 0 ) c ′ − ( z 1 − z 0 ) a ′ a c ′ − a ′ c t_1=\dfrac{(x_1-x_0)b'-(y_1-y_0)a'}{ab'-a'b}\\ t_2=\dfrac{(x_1-x_0)c'-(z_1-z_0)a'}{ac'-a'c}\\ t1​=ab′−a′b(x1​−x0​)b′−(y1​−y0​)a′​t2​=ac′−a′c(x1​−x0​)c′−(z1​−z0​)a′​ 如果 t 1 , t 2 t_1,t_2 t1​,t2​非常接近，则说明两直线确实交于一点；如果它们差异较大，说明两直线可能不相交（即不共面或平行）。

多条直线相交时，应按照最小二乘法求交点。

已知直线 x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} ax−x0​​=by−y0​​=cz−z0​​，直线上一点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0​,y0​,z0​)，平面方程为： A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0，如图所示求交点坐标：

设未知数t，由于C在直线上，其坐标可以表达为 ( x 0 + t a , y 0 + t b , z 0 + t c ) (x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc) (x0​+ta,y0​+tb,z0​+tc)：

因为C在平面上，所以满足 A ( x 0 + t a ) + B ( y 0 + t b ) + C ( z 0 + t c ) + D = 0 A(x_0+ta)+B(y_0+tb)+C(z_0+tc)+D=0 A(x0​+ta)+B(y0​+tb)+C(z0​+tc)+D=0

整理可得 t = − A x 0 + B y 0 + C z 0 + D a A + b B + c C t=-\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{aA+bB+cC} t=−aA+bB+cCAx0​+By0​+Cz0​+D​

那么，直线与平面的交点坐标为： C = P + t ∗ ( a , b , c ) C=P+t*(a,b,c) C=P+t∗(a,b,c)