已知 $f(x)$ $=$ $\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $?$

(A). $\begin{cases}\frac{x^{3}}{3}+C, & x1\end{cases}$

(B). $\begin{cases}x^{3} – \frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x1\end{cases}$

(C). $\begin{cases}\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, & x1\end{cases}$

(D). $\begin{cases}x^{3} – \frac{4}{3}+\mathrm{C}, & x1\end{cases}$

难度评级：

由题可知：

$$\begin{aligned}f(x) \\ \\& = \max \left\{1, x^{2}\right\} \\ \\& = \begin{cases}x^{2}, & x1\end{cases}\end{aligned}$$

于是，根据基本的积分公式：

当 $x 1$ 时：

$$\begin{aligned}F(x) \\ \\& = \int x^{2} \mathrm{~d} x \\ \\& = \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}\end{aligned}$$

即：

$$\textcolor{orangered}{F(x) = \begin{cases}& \frac{1}{3} x^{3}+C_{1}, & x < -1 \\ \\ & x + C_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\ \\ & \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}, & x > 1\end{cases}}$$

注意：

我们有可能常犯的一个错误就是，计算到上面这一步就认为解题已经结束了，其实，上面式子的参数 $C_{1}$, $C_{2}$ 和 $C_{3}$ 还可以被进一步加以明确。

又因为函数 $F(x)$ 是由函数 $f(x)$ 积分得来的，因此，函数 $F(x)$ 一定是连续函数，则函数 $F(x)$ 在分段点 $x = 1$ 和 $x = -1$ 的左右两侧的函数值一定是相等的，即：

$$\lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}} F(x)=F(-1)$$

$$\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} F(x)=F(1)$$

从而有：

$$-\frac{1}{3}+C_{1}=-1+C_{2}$$

$$1+C_{2}=\frac{1}{3}+C_{3}$$

解得：

$$C_{1}=C_{2}-\frac{2}{3}$$

$$C_{3}=C_{2}+\frac{2}{3}$$

若令 $C_{2} = C$, 则：

$$\textcolor{springgreen}{F(x) = \begin{cases}\frac{1}{3} x^{3} + C – \frac{2}{3}, & x1\end{cases}}$$

综上可知，本 题 应 选 B .

已知：

$$\max \left\{1, t^{2}\right\} = \begin{cases} t^{2}, & \mathrm{~d} t1\end{cases}$$

分析可知，$f(t)$ $=$ $\max \left\{1, t^{2}\right\}$ 其实是一个连续函数，于是，根据《变上限积分求原函数和不定积分求原函数的区别》这篇笔记可知，我们可以直接对函数 $f(t)$ 计算变上限积分，并且所得的原函数一定是连续的。

于是，我们有变限积分函数 $G(x)$：

$$\begin{aligned}G(x) \\ \\ \\& = \int_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{1, t^{2}\right\} \mathrm{~d} t \\ \\ \\& = \begin{cases}\int_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{\textcolor{springgreen}{1}, \textcolor{orangered}{t^{2}} \right\} \mathrm{~d} t, & x1 \end{cases} \\ \\ \\\end{aligned}$$

由于该变上限积分定义域的取值是从 $\textcolor{red}{0}$ 开始的，因此，需要对函数本身分段积分：

注意：

这里的分段积分是为了满足函数本身的定义，而不是对积分区间进行分段后再积分——只要不是在分段的区间上进行分段积分，就不需要考虑积分所得的原函数的连续性问题。

$$\begin{aligned}G(x) \\ \\& = \begin{cases} \int_{\textcolor{red}{0}}^{-1} \textcolor{springgreen}{1} \mathrm{~d} t + \int_{-1}^{x} \textcolor{orangered}{t^{2}} \mathrm{~d} t, & x1 \end{cases} \\ \\ \\& = \begin{cases} \frac{x^{3}}{3}-\frac{2}{3}, & x1\end{cases}\end{aligned}$$

又因为不定积分与对应的变上限积分的差别就是多了一个任意常数 $\textcolor{yellow}{C}$, 因此：

$$\begin{aligned}\int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{~d} x \\ \\ \\& = \int_{0}^{x} \max \left\{1, t^{2}\right\} \mathrm{~d} t + \textcolor{yellow}{C} \\ \\ \\& = \begin{cases} \frac{x^{3}}{3}-\frac{2}{3}+C, & \mathrm{~d} x1\end{cases}\end{aligned}$$

综上可知，本 题 应 选 B

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