分段函数求不定积分的两种常用方法:不定积分法和变上限积分法 |
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一、题目 已知 $f(x)$ $=$ $\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ,则 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $?$
难度评级: 二、解析由题可知: $$\begin{aligned}f(x) \\ \\& = \max \left\{1, x^{2}\right\} \\ \\& = \begin{cases}x^{2}, & x1\end{cases}\end{aligned}$$ 于是,根据基本的积分公式: 当 $x 1$ 时: $$\begin{aligned}F(x) \\ \\& = \int x^{2} \mathrm{~d} x \\ \\& = \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}\end{aligned}$$ 即: $$\textcolor{orangered}{F(x) = \begin{cases}& \frac{1}{3} x^{3}+C_{1}, & x < -1 \\ \\ & x + C_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\ \\ & \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}, & x > 1\end{cases}}$$ 注意: 我们有可能常犯的一个错误就是,计算到上面这一步就认为解题已经结束了,其实,上面式子的参数 $C_{1}$, $C_{2}$ 和 $C_{3}$ 还可以被进一步加以明确。 又因为函数 $F(x)$ 是由函数 $f(x)$ 积分得来的,因此,函数 $F(x)$ 一定是连续函数,则函数 $F(x)$ 在分段点 $x = 1$ 和 $x = -1$ 的左右两侧的函数值一定是相等的,即: $$\lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}} F(x)=F(-1)$$ $$\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} F(x)=F(1)$$ 从而有: $$-\frac{1}{3}+C_{1}=-1+C_{2}$$ $$1+C_{2}=\frac{1}{3}+C_{3}$$ 解得: $$C_{1}=C_{2}-\frac{2}{3}$$ $$C_{3}=C_{2}+\frac{2}{3}$$ 若令 $C_{2} = C$, 则: $$\textcolor{springgreen}{F(x) = \begin{cases}\frac{1}{3} x^{3} + C – \frac{2}{3}, & x1\end{cases}}$$ 综上可知,本 题 应 选 B . 解法二:利用变上限积分已知: $$\max \left\{1, t^{2}\right\} = \begin{cases} t^{2}, & \mathrm{~d} t1\end{cases}$$ 分析可知,$f(t)$ $=$ $\max \left\{1, t^{2}\right\}$ 其实是一个连续函数,于是,根据《变上限积分求原函数和不定积分求原函数的区别》这篇笔记可知,我们可以直接对函数 $f(t)$ 计算变上限积分,并且所得的原函数一定是连续的。 于是,我们有变限积分函数 $G(x)$: $$\begin{aligned}G(x) \\ \\ \\& = \int_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{1, t^{2}\right\} \mathrm{~d} t \\ \\ \\& = \begin{cases}\int_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{\textcolor{springgreen}{1}, \textcolor{orangered}{t^{2}} \right\} \mathrm{~d} t, & x1 \end{cases} \\ \\ \\\end{aligned}$$ 由于该变上限积分定义域的取值是从 $\textcolor{red}{0}$ 开始的,因此,需要对函数本身分段积分: 注意: 这里的分段积分是为了满足函数本身的定义,而不是对积分区间进行分段后再积分——只要不是在分段的区间上进行分段积分,就不需要考虑积分所得的原函数的连续性问题。 $$\begin{aligned}G(x) \\ \\& = \begin{cases} \int_{\textcolor{red}{0}}^{-1} \textcolor{springgreen}{1} \mathrm{~d} t + \int_{-1}^{x} \textcolor{orangered}{t^{2}} \mathrm{~d} t, & x1 \end{cases} \\ \\ \\& = \begin{cases} \frac{x^{3}}{3}-\frac{2}{3}, & x1\end{cases}\end{aligned}$$ 又因为不定积分与对应的变上限积分的差别就是多了一个任意常数 $\textcolor{yellow}{C}$, 因此: $$\begin{aligned}\int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{~d} x \\ \\ \\& = \int_{0}^{x} \max \left\{1, t^{2}\right\} \mathrm{~d} t + \textcolor{yellow}{C} \\ \\ \\& = \begin{cases} \frac{x^{3}}{3}-\frac{2}{3}+C, & \mathrm{~d} x1\end{cases}\end{aligned}$$ 综上可知,本 题 应 选 B 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 典型例题汇总:不定积分(凑微分、分部积分、一般有理式积分,三角函数有理式积分等) 1989 年考研数二真题解析 1990 年考研数二真题解析 1992 年考研数二真题解析 1991 年考研数二真题解析 考研数学不定积分补充例题 1993 年考研数二真题解析:一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式 高等数学定积分补充例题(三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑) 1987 年考研数二真题解析 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 1988 年考研数二真题解析 题目中没有给出的等式可以通过“嵌套”的方式构造出来 2024年考研数二第18题解析:微分方程的代换化简,一重积分的计算 计算定积分的神奇武器:区间再现公式(附若干例题) 集火攻击:多种方法解一道题 分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算 当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标:当这个圆形区域的位置并不标准时,可以考虑平移代换 你能走出这个关于 $e^{x}$ 的迷宫吗? 在一阶微分方程中,哪个变量更“简单”就把哪个变量看做因变量处理 当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了 二重积分先定积分区域:但二重积分的值可不是积分区域的面积 无穷项求和的解题方法:夹逼定理或者定积分的定义 幂函数凑微分的标志:次幂相差 1 二重积分的被积函数中含有根号怎么办?可以尝试改造积分区域实现对根号的去除 |
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