在我们北师大版本的第八册所配套的试卷中一个解决问题专项习题中出现了一个选择题：

某地居民用水量收费标准研究如下表，王老师家4月份用水30吨，

应付水费（ ）元。

A、30×3 B、2×30

C、25×2+5×3 D、25×3+5×2

这道题的测评的两个班级一共89人，全对的只有18人，失分率高达79.8%。错误当中其中D选项没有人选，A、B都有人选择，针对这71人进行了错误结果分析如下：

这种类型的解决问题表面上看是数与范围，背后的数学本质其实就是一个“分段函数”思想的应用，那为什么学生一遇到就会出错？究竟是什么原因导致学生根本无法表征出正确的解题思路。“分段计费”的应用在教材中是怎样呈现的？

教材情况分析

我们选择了人教版、北师大版、苏教版三个版本有关“分段计费”内容的教材编排进行整理与比较分析。我们发现除了北师大版教材没有正式的例题，苏教版和人教版都有。

人教版是以例题形式出现的“分段计费”

人教版教材五年级数学上册选择了出租车分段计费作为教学素材（第16页例9）。通过出租车分段计费行驶6.3km要付多少钱。引导学生发现这里的重要数学信息“收费标准”，在此之前学生所学的解决问题不属于这种“分段”的解决问题，但也是按照教材这样编排的几个步骤：“阅读与理解——分析与解答——回顾与反思”进行下去的。

苏教版是以习题形式出现的“分段计费”

苏教版与人教版一样，会将这样的问题编排在五年级上册教材第94页，这样是第一次出现这样的“分段函数”类型的问题，而且并没有正式的去单独列为例题，而是以动脑筋题出现的，而且这个问题是逆向的思考，如果没有接触过“分段计费”问题的解决过程，这个问题也就更难去逆向思考。而且这道练习也非常注重阅读能力，没有表格辅助理解，学生遇到这个问题就难找到方向，不容易找到“分段”的节点在哪，所以很难解决清楚问题。

通过教材编排可以看出这种“分段计费”类型的解决问题都是在五年级第一次出现，故也能看出北师大版的这套练习对于学生来说是教材里面并没有正式出现过，错误率也就自然很高。那么如果学生具备生活经验学过以后学生就能掌握了吗？

学情调查分析

为了进一步了解学生的思考情况，笔者进行了2道“分段计费“题型的后测，这两题当中的“分段”有一定梯度。在前期有调查过学生具备这样的“分段计费”生活经验，知道计程车的计费是分段的，也知道水费也是分段的。

测试1：

（分析：在这道最为基本的“分段计费”解决问题中，89人只有65人完全做正确并且算出得数，可见“分段”思考在这里并没有引起学生联想，这对于大部分学生来说都是难点，对于这里的分段计费还是思路不够清晰，理解这里面13km需要分段计费是比较难）

我们对这89人中的70个具备水费生活经验的学生又进行了另一个测试。

测试2：

（分析：在这道解决问题中我们发现学生所表现出来的答案真的出乎我们的意料，虽然这个内容已经在之前的学习中接触过，而70人中有57人能算出正确答案，还是有13人并不理解“分段计费”的含义）

比如以下两种典型错例：

经访谈发现，该类型错误学生认为283立方米的水属于第二阶梯用的水量，因此该学生就直接将283去乘第二阶梯的单价去了。由于缺乏“分段”的经验，才会错误的将所有用水量全部以第二阶梯的价格计算。

这种错误主要是不理解“分段”所形成的“区间”的含义。

学生对题目中的范围意义不理解，这其实是对“区间”的理解意义不深刻，对题目中的三个范围的理解是不充分的，因此很明显让分段变得根本不清楚，上面这个学生的错误根本上是不懂第二段的计费是多少度，学生疑惑的是“这上面第一个范围明明有220了，为什么第二个范围还得从220开始”，从这能看出第二个范围的含义以及与总的用水量的关系也没有理通。

对策实施建议

提供更加顺应学生思维的脚手架

小学阶段的“分段函数”思想体现主要还是在“分段计费”问题上的，因此我们可以进行相关的“主题教学”，让学生对这个问题的解决与认识更加系统化。而有层次的引导才能真正让学生了解这种“分段计费”的原理，用到第二阶梯甚至第三阶梯该如何计费。

我们可以进行对比教学，让学生引发思考。将用水量改变，成为三种情况变式突破，一种是只需要计费一段的，以及需要计费两段或者更多段的计费情况。

然后可以引导不会表征的学生试着用数线图来解读计费标准。教师在这里的引导性提问有这些：这23吨水都按什么价格计算的呢？后面的那些单价为什么不用去管它们了？用30吨水该怎样计费？从图中你能看出如何计费吗？用到38吨水为什么就需要三段计费了？这一系列的提问可以穿插在学生反馈的时候运用。多鼓励学生用图来表达题意。

学生通过以上的对比学习体验，教师引导学生为自己提供“脚手架”，使得学生与教师之间关于“分段计费”的对话才会表明的比较通透，最终对“分段计费”的原理弄得比较清楚，出现过调查发现的错误的学生经过这样的引导学习，自然理解了“分段计费”的算理，探索发现主要思路就是“明确分段区间——明确不同区间的计费标准——分区间讨论计算”，在这个过程中，同时达到了课标中“能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。”

5

乐一乐：

老师：你说我们国家有哪些数学家？

学生：数不清

老师：对，苏步青是一个，还有呢？

你若盛开 蝴蝶自来

审核人：金铭 肖雪霞返回搜狐，查看更多