前置知识：水下翻飞翼——蛇颈龙鳍肢的运动模式

我们已经知道，蛇颈龙类的四肢是水翼状的，这个专栏简单引入一下水翼的流体动力学分析。本人流体动力学知识有限，如果有错误欢迎指正。

阻力(Drag, D)：阻力是流体中抵抗物体相对运动的力。流体中的阻力分为粘性阻力(Viscous Drag，取决于液体的粘度)、压差阻力(Pressure Drag，取决于物体运动时前后的压力差)、波浪阻力(Wave Drag，靠近空气和水交接处时会出现)、诱导阻力(Induced Drag，伴随着升力一同产生的阻力)和干扰阻力(Interference Drag，物体各个部分之间由于流体互相干扰产生的阻力)。当物体完全沉浸在水中的时候，波浪阻力可以忽略不计。干扰阻力很难在测试中与其他阻力区分开来，而且相较于其他阻力来说非常小，因此这里也忽略不计了。

推力(Thrust, T)：推力是动物运动的时候产生的与前进方向相同的力。在匀速运动的时候，推力和阻力的大小相同，方向相反。

升力(Lift, L):动物在游泳时，由身体或者肢体周围的流体偏转引起的、垂直于运动方向的力的总和。水中的动物在匀速前进的时候，升力与浮力的合力，与重力大小相同，方向相反。

弦长(Chord Length, C)：翼的前缘和后缘连线的长度。

雷诺数(Reynolds Number, Re)：游骑兵出动！ 是衡量流体惯性力和粘性力比值的无量纲量，定义式是：

其中指的是前进的相对速度，指运动粘度，指的是长度尺度(在水翼模型上一般取弦长)。

边界层(Boundry Layer):物体表面附近一层薄薄的流体。雷诺数会影响边界层的特征，当雷诺数小的时候()，边界层的流体层流(Laminar Flow，即流体沿着平行的流线围绕物体流动)；当雷诺数大的时候()，边界层会出现湍流(Turbulent Flow, 即流体不规则流动)并产生涡流(Vortice, 通俗点说差不多是漩涡)。

斯特罗哈数(Strouhal Number, St):也是一个无量纲量，这里只介绍振翼时候的物理意义——翼运动的速度和前进速度的比例。定义式如下：

其中指周期性振翼的频率，指尾流宽度(近似为振翼振幅的2倍)，指流体的流速。

攻角(Angel of Attack, AoA):翼的方向和速度方向之间的夹角，本文中记为。

需要注意一下上面的缩写，下文中有的不会再解释意思了。

现在我们考虑一个恒定流速液体中禁止不动的水翼。

如图，液体从左向右匀速流动，水翼固定不动，攻角大小为，液体作用在水翼上的力大小为。我们可以把进行分解，分解成与速度方向平行的阻力和与速度方向垂直的升力。

下面来看看水翼周期性上下拍动时候的分析。

已知液体从左向右匀速流动，速度为，水翼目前这个瞬间与水平面的夹角为，水翼正在向上运动，速度大小为（防止读者不知道，这里的字母上加点是牛顿发明的求导符号，我们今天大多数情况下使用的微积分符号是莱布尼兹那一套。是水翼的位置)。

把和矢量相加，得到诱导速度，和水平面所成角的大小为，因此攻角。这个时候水翼受到流体的力的大小为。跟上面一样，我们对进行分解。沿着与诱导速度平行的方向和与诱导速度垂直的方向能分解出阻力和升力；如果沿着和方向，能分解出和，这里的就是推力，而被称为侧向力(Side Force)。

在拍翼的时候，水翼除了上下运动，还会有周期性的转动(即角大小的变化)。这里分别引入两个运动随时间变化的公式。

是指时的角大小。

知道了以上的量之后，扑翼的推进效率可以用下面这个公式计算：

其中是俯仰力矩(Pitching Moment)。

在实验中，推力是可以直接测得的，不过也存在计算它的公式。

我们给刚才的图加上两条紫色的辅助线，所有条件不变。

在某一个瞬间，我们把运动中的水翼当作是静止的水翼来处理。

图中这种情况中，攻角的大小可以用如下公式计算：

升力和阻力的公式分别为：

其中指的是液体的密度，是水翼的弦长，是液体的流速，是升力系数，是阻力系数。

升力系数和阻力系数和攻角的大小是相关的，可以用切向涡流法(Cross-flow Vortex)计算它们的大小。当攻角小于20°的时候，这种方法可以比较准确地估测两种阻力系数。攻角在太大的时候水翼的效率会降低，因此蛇颈龙类肢体在运动的时候攻角很可能不会超过20°。

升力系数和阻力系数的计算公式如下：

这次用的求导符号是大家熟悉的，莱布尼兹那一套。和分别指的是静止的水翼在固定流速的液体中的升力系数和阻力系数，可以通过实验测得。

在知道了和之后，和的大小就能够算出来，图中的情况下，和夹角的大小是，图上紫色的辅助线可以帮助理解。

上面的分析都是把水翼当作是刚体来处理的，但实际上，水下飞行者们的肢体在运动的时候都会发生一定程度的弯曲。现生水下飞行者的肢体演化为翼状往往靠的是指骨的增长，而蛇颈龙类靠的是指骨数量的增多，这表明蛇颈龙的肢体能够更加平滑地弯曲。我们上面已经提到，攻角如果大，水翼的效率会降低，翼的弯曲能够有效地减小水翼运动时候的攻角，进而达到提高运动效率的目的。

现在要处理会弯曲的水翼，可以在水翼上取一些分点，分别计算出产生的升力和阻力后求和，得出总的升力和阻力，推力和侧向力的计算方法不变。

考虑上面这张图上的水翼，平面是不弯曲的部分(在蛇颈龙身上对应近端长骨Propodial和远端长骨Epipodial)。平面是可以上下弯曲的部分(在蛇颈龙身上对应指骨部分)。我们在这个水翼上取三个分点(标星号的地方)，其中是的中点，和分别是的两个四分位点。

分别计算三个分点处的升力和阻力，并求和：

其中是指处的液体相对速度(P.S., 这是向量，算升力时候的是向量叉乘)，指的是处平面的法向量，下的向量是单位向量。

水翼的力学分析到这里就结束了。实际上，水翼不是水下飞行者们独有的，一些用尾鳍推进的水生动物，它们的尾鳍也是水翼结构，原理是一样的，之后的专栏里还会再提到这一点。

参考文献：

[1] Gutarra & Rahman, 2022. The Locomotion of Extinct Secondarily Aquatic Tetrapods. 

[2] Muscutt, 2017. The Hydrodynamics of Plesiosaurs.

[3] Harada et al, 2021. Kinematics and Hydrodynamics Analyses of Swimming Penguins: Wing Bending Improves Propulsion Performance.