0 引言

微小型四旋翼无人机是一种能够垂直起降、自由悬停，具有多旋翼结构的自主飞行器[1].拥有机动能力强、结构设计巧妙的特点，能够完成室内或者狭小空间飞行任务，并且噪音小、隐蔽性强，具有较高的推重比和可操作性.随着科学技术的飞速发展，四旋翼微型无人机已成为无人飞行器研究领域的一个热点.

在四旋翼无人机发展早期阶段，Salih[2]和Kada[3]采用了经典PID控制器，该控制器的主要优点之一就是不需要建立动力学模型，也不需要获得精确的无人机参数.除此之外，滑模控制[4]、反步控制[5]、模型预测控制[6]等一系列高级的控制方法也被广大研究人员应用于四旋翼无人机的控制.但这些控制方法都建立在四旋翼无人机动力学模型的基础之上，需要获得精确的动力学模型参数.其中，气动参数升力系数和扭力系数的准确性对控制性能起到非常重要的作用.为了获得上述气动参数，可以采用机理分析的方法，如依据桨叶面积、桨叶半径、空气密度、桨叶转速等进行计算，但由于桨叶旋翼尺寸较小，质量较轻，容易变形，并且当条件变化时对计算结果影响很大，因此难以得到准确值.为了方便操作，研究人员可以采用实验测量的方式来获取气动参数.然而，并不是所有的测量实验都是可行的，由于机械误差、空气扰动或者其它随机干扰，将导致测量结果与真实值有很大偏差[7].

四旋翼无人机具有欠驱动、强耦合、非线性等特点，升力系数的变化会对四旋翼无人机的控制稳定性能产生重要的影响.在实际工程应用中，由于四旋翼无人机的桨叶通常使用塑料或者碳纤维材质，当受到扰动气流或因自身水平运动产生的相对气流时[8]，桨叶的挥舞将导致气动参数发生剧烈变化[9]，其原理如图 1所示.图中mg表示无人机受到的重力矢量，T表示无人机所有旋翼旋转产生的升力合. Zhao[10]采用一个基于Ⅰ & Ⅰ方法(Immersion and Invariance methodology)的估计四旋翼无人机模型中不确定的升力系数. Fujimoto[11]利用神经网络的非线性逼近能力去降低四旋翼无人机模型中的桨叶挥舞影响.文[12]以植保无人机为对象，通过Kalman滤波对无人机质量进行实时估计并进行前馈补偿，解决无人机质量发生变化导致高度控制不稳定的问题.本文则利用Kalman滤波对升力系数进行实时估计，在设计双闭环LQR控制器的基础之上，利用升力和扭力系数的变化量对电机转速进行补偿，从而提高四旋翼无人机高度控制性能.最后通过Matlab/Simulink进行仿真实验.实验结果验证了该方法的有效性.

本文中四旋翼无人机采用‘+’型结构，其动力学模型如图 2所示.其中无人机受力主要来自4个方面：

1) 刚体运动对机体的受力影响.

2) 旋翼的陀螺效应对机体的受力影响.

3) 旋翼空气动力学效应对机体的受力影响.

4) 空气阻力对机体的受力影响.

4个受力影响的互相叠加，构成了四旋翼动力学模型.为建立四旋翼无人机动力学模型，先定义导航坐标系E(Xe，Ye，Ze)，原点为无人机起飞点，分别指向东、北、天三个方向.另外，还要定义机体坐标系B(Xb，Yb，Zb)，为固连于无人机的参考坐标系，原点为无人机质心，分别指向无人机的右、前、上三个方向[13].

机体的转动顺序为先绕Zb轴转过的角度为航向角，再绕Xb轴转过的角度为俯仰角，最后绕过Yb轴转过的角度为横滚角[14].在此顺序下的导航坐标系到机体坐标系的旋转矩阵如式(1)所示：

式中，s和c分别表示正弦和余弦函数，如cφ表示的是余弦cos φ.由于四旋翼无人机实际的机体质量远大于旋翼的质量，旋翼的陀螺效应对机体的受力影响很小，可以忽略不计；其次，机体在平动和转动时所受到的空气阻力也远小于旋翼的空气动力学效应产生的升力与扭矩力，故机体受到的空气阻力也可以忽略不计，为了简化模型，可作假设：

1) 忽略旋翼质心到机体质心的垂直距离.

2) 认为旋翼质量很轻，不考虑旋翼的转动惯量.

3) 忽略空气的干扰，不计空气的阻力.

模型简化后得到导航系下如式(2)所示的动力学模型：

式中，ωi(i=1，2，3，4)为四个旋翼的角速度，x、y和z分别为无人机在导航系下的位置坐标，Jx、Jy、Jz为四旋翼无人机分别单独绕机体系三坐标轴产生的转动惯量，φ、γ、θ分别为四旋翼的航向角、横滚角与俯仰角，b、d分别为旋翼拉力系数与扭矩力系数，l为四旋翼无人机的半轴长.

根据以上四旋翼无人机动力学模型可以看出，无人机的运动可以分为质心的移动和机体的转动，质心的移动依赖于机体的侧倾提供的侧向加速度[15].相反，机体的转动不依赖于直线运动，因此将姿态控制作为内环.设计如图 3所示的双闭环控制结构[16]，将姿态控制作为内环，位置控制为外环，姿态环嵌套在位置环中. 图 3中Pd、Ωd分别为位置和欧拉角的参考值.

LQR即线性二次型最优控制，其基本思想是求取反馈控制律u=Kx使系统在区间[t0，∞]能够从非平衡状态转移到零点附近.给定的性能指标函数为

其中，Q是半正定常数矩阵，R是正定常数矩阵，Q和R分别是状态变量和控制变量的加权矩阵.本文借助Matlab工具，直接使用LQR(A，B，Q，R)函数求解状态反馈系数.

假设位置环的状态空间模型如式(2)所示：

其中，状态变量为，其中各个分量分别为导航坐标系E(Xe，Ye，Ze)下三轴参考位置误差和参考速度误差；控制量为，控制变量中的各个分变量分别为E(Xe，Ye，Ze)下三轴期望加速度；DP为位置扰动.可得如式(4)所示的矩阵系数：

本文中位置环Qp和Rp分别为

通过计算获得位置环状态反馈矩阵：

位置控制器的控制律为

将外环LQR控制器输出的加速度值作为欧拉角反解模块的输入，由于四旋翼无人机的直线运动加速度全部来自于四个旋翼产生的推力，因此无人机导航系下的加速度标量|a|和每个电机基础转速ω2由式(1)和式(2)解得：

由于四旋翼无人机的航向控制通道是解耦的，无人机的水平运动通过对俯仰角、横滚角的控制即可完成，因此这里假设偏航角参考量为0[17]，则代入式(2)解得俯仰角、横滚角的参考量为

将通过式(9)和式(10)解得的电机基础转速及欧拉角参考量作为姿态环的输入.

前面简化的四旋翼无人机动力学模型(2)具有非线性的特点，为了能够设计合适的LQR控制器，需要对动力学模型线性化处理[18]，得到如式(11)所示的简化动力学模型：

写成状态空间模型：

其中，状态变量为，状态变量中的各个分量分别为俯仰角、俯仰角速度、横滚角、横滚角速度、偏航角、偏航角速度与相对应的参考量误差.控制量为ua=[Δω12，Δω22，Δω32，Δω42]，其中的各个分量分别表示对应电机转速平方的增量，Da表示相应的姿态扰动.其状态方程矩阵系数Aa和Ba为

姿态环的加权矩阵Qa和Ra为

通过计算获得的姿态环状态反馈矩阵：

姿态控制器的输出为

最终将位置控制器输出与姿态控制器的输出叠加，得到最终控制量：

在无人机实际飞行过程中，由于气流扰动，导致气动参数发生变化，从而使无人机的控制性能下降.本节将升力系数和扭力系数加入到无人机的状态量中进行在线估计，增广后的状态量X为

卡尔曼滤波作为一种最优估计方法在信息融合领域获得了广泛应用[19]，该算法利用过去和当前的观测量实时地更新系统状态.为了利用该方法对气动参数进行在线估计，首先将式(2)所示的动力学模型线性化，即忽略其中的非线性项，然后建立状态空间方程：

其中，A为系统转移系数矩阵，B为控制系数矩阵，控制量u=[ω12，ω22，ω32，ω42]T，在预测过程中，由于升力/扭力系数本身的变化与时间t无关，因此在卡尔曼滤波器的预测时刻认为升力系数b和扭力系数d是瞬时不变的，系统转移矩阵A和控制矩阵B分别为

为便于表示，式(20)中的p1~p6具体含义为

T表示控制周期.由于升力系数和扭力系数无法直接观测，因此通过动力学模型推导计算.由于加速度计和转速测量(基于霍尔传感器)均有传感器噪声，通过式(21)计算出的升力系数Zb和扭力系数Zd无法直接使用，但可以该计算结果作为升力系数和扭力系数的观测值，从而建立量测方程.最后，通过卡尔曼滤波进行数据融合，使估计出的升力/扭力系数收敛于真实值.

其中，n1~n4分别表示4个电机转速测量噪声，nz表示z轴加速度测量噪声，nφ为航向角加速度测量噪声.根据式(18)得观测矩阵H：

卡尔曼滤波更新过程为

计算卡尔曼增益：

状态更新：

协方差更新：

至此，通过预测更新和观测更新进行不断的预测—修正来递推出一个最优的无人机状态量，通过卡尔曼滤波在线估计气动参数后，分别计算扭力系数比例因子kb和升力系数比例因子kd，如式(27)所示：

其中，be和de分别为升力系数和扭力系数的估计值，b0和d0分别为通过气动参数辨识实验得到的初始值.得到升力系数比例因子后，通过增加或减少无人机的基础转速进行补偿，将计算基础转速式(9)修改为

同理，得到扭力系数比例因子后，通过与式(15)姿态环状态增益中航向角相关项相乘，得到新的姿态环状态反馈矩阵Ka*：

通过对欧拉角反解模块中的基础转速和姿态环状态增益进行补偿，使无人机在受到干扰导致气动参数发生变化的情况下，保证高度和航向角的控制性能，控制结构如图 4所示.

使用Matlab/Simulink环境搭建上述四旋翼无人机动力学模型及LQR控制器，通过仿真验证控制器稳定性及通过在线估计气动参数变化对转速进行补偿的可行性.仿真中使用的参数，包括传感器噪声和无人机模型参数等，均来自于对图 5所示的实际系统测量.该实际系统使用STM32微控制器作为主控制器，搭载了GY-86惯导模块和GPS定位模块.实际无人机模型的部分参数可通过参数辨识实验获得[20]，如表 1所示，传感器噪声参数如表 2所示.

为验证文中2.1节和2.2节设计的控制器在气动参数不变化的情况下的控制效果，先进行无风扰的定点悬停实验，并引入扰动，验证其鲁棒性.假设无人机的初始状态[x0，y0，z0，θ0，γ0，φ0]为[0，0，0，0，0，15°]，目标状态[xd，yd，zd，θd，γd，φd]为[1°，1°，1°，0，0，0]，飞行过程中气动参数不会发生变化，并在t=5 s时刻和t=7.5 s时刻分别在姿态和位置上施加干扰.仿真得到的位置曲线和姿态曲线如图 6和图 7所示.仿真结果表明，无人机在起飞3.5 s后到达目标点且状态稳定，收敛速度较快且超调现象不明显.图中当无人机受到干扰后，可以快速恢复到稳定状态，具有较好的稳定性.

根据动力学模型可知，升力系数的变化将导致高度控制性能下降，为验证本文方法的可行性，将通过两组对比实验进行验证.第1组为定点悬停实验，设定无人机起飞点和目标点均为[0, 0, 0].升力系数在t=6 s时刻变为初始值的1/2，并在t=10 s时刻恢复初始值，升力系数估计结果和高度曲线如图 8所示.第2组实验为高度爬升实验，设定无人机起飞点为[0, 0, 0]，目标点为[10, 10, 20]，升力系数在t=8 s时刻变为初始值的1/2，并在t=10 s时刻恢复，升力系数估计结果和高度曲线如图 9所示.

如图 8和图 9所示，当无人机受到干扰导致升力系数发生变化时，高度控制受到明显影响，并且干扰时间越长，影响越明显.此时如果没有采用补偿控制，无人机的飞行高度将难以跟踪参考轨迹，控制性能无法满足实际应用的需求.不同的是，当通过气动参数在线估计对转速进行补偿后，高度控制性能有了明显的提升，跟踪误差较小，因此本文设计的补偿控制器针对升力系数发生变化的情形具有良好的抗干扰能力.

升力系数原理相同，扭力系数的变化将导致航向控制不稳定，将通过两组实验对本文方法进行验证，第1组实验设定无人机初始姿态角为[0, 0, 0]，扭力系数在t=8 s时刻变为初始值的1/2，并使航向角跟踪正弦波信号，扭力系数估计结果和航向角曲线如图 10所示.第2组实验设定无人机初始姿态角为[0, 0, 0]，扭力系数在t=10 s时刻变为初始值的1/2，并使航向角跟踪方波信号，扭力系数估计结果和航向角曲线如图 11所示.

如图 10和图 11所示，当无人机未受到干扰且扭力系数未发生变化时，补偿前和补偿后的控制效果几乎相同，当扭力系数发生变化后，未经过转速补偿的控制器受到的影响更大，而转速补偿后的无人机跟踪误差更小，控制性能接近于未受到干扰时的情况，针对扭力系数发生变化的情形具有更好的抗干扰性.

本文针对四旋翼无人机的姿态和位置控制，设计了双闭环LQR控制器，在没有风扰的理想环境下具有良好的控制效果.由于在实际飞行过程中，存在无人机受到风扰、气动参数发生变化的情况，导致无人机的控制性能下降，因此在原有控制器的基础上，通过对升力和扭力系数进行在线估计，并用于转速补偿.仿真结果表明：利用卡尔曼滤波能够较为准确地对气动参数进行在线估计，能够实时跟踪升力系数的变化情况；经过转速补偿，实现了在升力系数和扭力系数变化的情况下也尽可能的保证高度和航向较好的控制性能，与没有气动参数估计的控制器相比，在抗干扰性方面有了明显的提升.