非线性问题是什么？

在日常生活中，经常会遇到结构非线性问题。

例如，

当用钉书针钉纸张时，金属钉书钉将永久地弯曲成一个不同的形状(图 1a)；

在一个木架上放置重物，随着时间的推移木架将越来越下垂(图 1b)；

汽车或卡车上装载货物时，轮胎和下面路面间接触面将随货物重量变化(图 1c)。

如果将上述例子的载荷变形曲线画出来，我们将发现它们都显示了结构非线性的基本特征—结构刚度改变。

导致结构刚度发生改变，产生非线性行为的原因有很多，主要归结为三类：

（一）材料非线性；

（二）几何非线性；

（三）接触非线性。

一、材料非线性

非线性的应力─应变关系是结构产生非线性行为的常见原因。不同环境状况(如温度)、加载历史(如在弹─塑性响应情况下)、加载的时间下(如在蠕变响应情况下)，材料表现出不同的应力-应变关系。

金属塑性变形、橡胶超弹性材料、粘弹性材料、混凝土、率相关蠕变等问题都是典型的材料非线性问题。

二、几何非线性

如果结构经受大变形，变化后的几何形状能引起结构非线性行为，我们称这类响应为几何非线性。一个典型的例子是图4所示的钓鱼杆。随着垂向载荷的增加，杆不断弯曲以致于力臂明显地减少，导致杆端显示出在较高载荷下不断增大的刚性，许多细长结构都表现出此类特性。还有就是薄膜结构例如鼓面，当我们给它一个预张力的时候，面内的刚度也会增大。

几何非线性主要包括大转动、大位移、刚度硬化和结构失稳等问题。

三、接触非线性

两个分离的表面接触并发生剪切时，我们称它们处于接触状态。

一般而言，处于接触状态的表面具有以下特点：

(1)不产生相互穿透

(2)能够传递法向压力和切向摩擦力

(3)通常不传递法向拉力

接触的这些特点使接触表面之间可以紧贴在一起，也可以分开并远离，从而产生不同的接触状态。随着接触状态的改变，接触表面的法向和切向刚度会有显著的变化。因此，接触是强非线性问题。仿真中，80%以上的非线性不收敛主要是由于接触问题引起的。

非线性分析方程求解

ANSYS程序的方程求解器通过计算一系列的联立线性方程组来预测工程系统的响应。然而非线性结构的行为，不能直接由线性方程求得，一种近似的非线性求解是将载荷分成一系列的载荷增量，可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量，每一个增量确定一个平衡条件，在每一个增量的求解完成后，程序调整刚度矩阵以反映结构刚度的非线性变化。

这种方法我们把它叫做牛顿-拉普森平衡迭代法，或者直接叫做牛顿迭代法。

其中：KiT为切向刚度矩阵；ΔUi为位移增量；F a是施加的载荷矢量；Fi nr为内力矢量。

下图是一个载荷增量的迭代求解过程：

第一次迭代施加总载荷F a，对应的位移结果为X1，根据位移X1，计算内力F 1，若是 Fa≠ F1，系统不收敛，将进行刚度矩阵的修正，然后进行第二次迭代求解，第三次迭代……直至收敛。其中的差值Fa-Fi即外力与内力的偏差，也叫残差力，残差力需要足够小（Fa≈F1 ，即内外力平衡）才能够收敛，ANSYS程序中有相关的收敛准则定义。

非线性不收敛原因及ANSYS解决方案

ANSYS Mechanical具有强大的非线性计算能力，能够对几何非线性、材料非线性、接触非线性、混合非线性等计算问题进行非常好的模拟仿真，是目前最强大的非线性问题计算软件之一。针对非线性计算无法收敛的问题，我们主要可从以下方面着手：

总结

仿真分析中我们经常会使用非线性分析来解决工程中的实际问题，其中遇到的不收敛问题是一件让人非常“头疼”的事情。ANSYS Mechanical具有很强的非线性分析计算能力，针对状况百出的非线性不收敛问题具有不同的应对策略，某种程度上让我们解决这类问题时，能有“迹”可循，有“法”可医。

作者：安世亚太 

更多课程/资料/操作技巧，添加微信：fangzhenxiu999  备注B站领取200G资料