准确数与近似数之差，即 e = x − x ∗ e=x-x^* e=x−x∗.

绝对误差限即为绝对误差的上界，即 ∣ e ∣ = ∣ x − x ∗ ∣ ≥ ε |e|=|x-x^*|\ge\varepsilon ∣e∣=∣x−x∗∣≥ε.

对于 x x x的近似值 x ∗ = ± 0. a 1 a 2 … a n × 1 0 m x^*=\pm0.a_1a_2\dots a_n\times10^m x∗=±0.a1​a2​…an​×10m，若误差 ∣ x − x ∗ ∣ ≤ 1 2 × 1 0 m − l |x-x^*|\le\frac{1}{2}\times10^{m-l} ∣x−x∗∣≤21​×10m−l，则 x ∗ x^* x∗有 l l l位有效数字。

例如， π \pi π的近似值 3.1416 3.1416 3.1416有五位有效数字。

记 e r = x − x ∗ x e_r=\frac{x-x^*}{x} er​=xx−x∗​为 x ∗ x^* x∗的相对误差，相对误差限即为相对误差的上限，即 ∣ e r ∣ = ∣ x − x ∗ ∣ ∣ x ∣ ≤ ε r ∗ |e_r|=\frac{|x-x^*|}{|x|}\le\varepsilon_r^* ∣er​∣=∣x∣∣x−x∗∣​≤εr∗​.

设近似值 x ∗ = ± 0. a 1 a 2 … a n × 1 0 m x^*=\pm0.a_1a_2\dots a_n\times10^m x∗=±0.a1​a2​…an​×10m有 n n n位有效数字，则其相对误差限为 1 2 a 1 × 1 0 − n + 1 \frac1{2a_1}\times10^{-n+1} 2a1​1​×10−n+1.

设近似数 x 1 ∗ x_1^* x1∗​与 x 2 ∗ x_2^* x2∗​的误差限分别为 ε ( x 1 ∗ ) \varepsilon(x_1^*) ε(x1∗​)与 ε ( x 2 ∗ ) \varepsilon(x_2^*) ε(x2∗​)，则他们的四则运算后的误差限为：

{ ε ( x 1 ∗ ± x 2 ∗ ) ≈ ε ( x 1 ∗ ) + ε ( x 2 ∗ ) ε ( x 1 ∗ ⋅ x 2 ∗ ) ≈ ∣ x 2 ∗ ∣ ε ( x 1 ∗ ) + ∣ x 1 ∗ ∣ ε ( x 2 ∗ ) ε ( x 1 ∗ / x 2 ∗ ) ≈ ∣ x 2 ∗ ∣ ε ( x 1 ∗ ) + ∣ x 1 ∗ ∣ ε ( x 2 ∗ ) ∣ x 2 ∗ ∣ 2 \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon(x_1^*\pm x_2^*) \approx \varepsilon(x_1^*)+\varepsilon(x_2^*) \\[7pt] \varepsilon(x_1^*\cdot x_2^*)\approx|x_2^*|\varepsilon(x_1^*)+|x_1^*|\varepsilon(x_2^*)\\[7pt] \varepsilon(x_1^*/x_2^*)\approx \frac{|x_2^*|\varepsilon(x_1^*)+|x_1^*|\varepsilon(x_2^*)}{|x_2^*|^2}\\ \end{array} \right . ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​ε(x1∗​±x2∗​)≈ε(x1∗​)+ε(x2∗​)ε(x1∗​⋅x2∗​)≈∣x2∗​∣ε(x1∗​)+∣x1∗​∣ε(x2∗​)ε(x1∗​/x2∗​)≈∣x2∗​∣2∣x2∗​∣ε(x1∗​)+∣x1∗​∣ε(x2∗​)​​

对于 A = f ( x 1 , x 2 , ⋅ , x n ) A=f(x_1,x_2,\cdot ,x_n) A=f(x1​,x2​,⋅,xn​)，计算 A ∗ = f ( x 1 ∗ , x 2 ∗ , ⋅ , x n ∗ ) A^*=f(x_1^*,x_2^*,\cdot ,x_n^*) A∗=f(x1∗​,x2∗​,⋅,xn∗​)时的误差限为： ε ( A ∗ ) = ∑ k = 1 n ∣ (   ∂ f ∂ x k ) ∣ ε ( x k ∗ ) \varepsilon(A^*)=\sum_{k=1}^n\left|\left(\ \frac{\partial f}{\partial x_k} \right)\right|\varepsilon(x_k^*) ε(A∗)=k=1∑n​∣∣∣∣​( ∂xk​∂f​)∣∣∣∣​ε(xk∗​)

若误差在计算过程中越来越大，则算法不稳定，即初始误差在计算中传播导致误差增长很快。否则算法是稳定的。例如，要计算 I n = ∫ 0 1 x n x + 5 d x I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+5}dx In​=∫01​x+5xn​dx： I n = 1 n − 5 I n − 1 I n = 1 5 ( 1 n − I n ) I_n=\frac1n-5I_{n-1}\\[10pt]I_n=\frac15\left( \frac1n-I_n\right) In​=n1​−5In−1​In​=51​(n1​−In​) 第一个算法是不稳定的，因为误差 e n = − 5 e n − 1 = ( − 5 ) n e 0 e_n=-5e_{n-1}=(-5)^ne_0 en​=−5en−1​=(−5)ne0​，误差随迭代次数而增加；第二个算法是稳定的，因为误差 e n = − 1 5 e n − 1 = ( − 1 5 ) n e 0 e_n=-\frac 15e_{n-1}=(-\frac15)^ne_0 en​=−51​en−1​=(−51​)ne0​，误差会逐渐减小。

已知 f ( x i ) = y i ， i = 0 , 1 , 2 , … , n f(x_i)=y_i，i=0,1,2,\dots,n f(xi​)=yi​，i=0,1,2,…,n，由Lagrange插值法可得插值多项式： L n ( x