解析正方体的平面展开图

  刘科祥  赵清明

    我们在实际生活中经常遇到立体图形的平面展开图，特别是正方体的平面展开图。本文主要介绍正方体的平面展开图，并对有关题目的解题规律作初步的探讨，以便于同学们学习。

  1. 设计正方体的平面展开图

    例1  阿兰准备用硬纸片通过裁剪、折叠等方式制作一个封闭的正方体礼品盒。她先在硬纸片上设计了图1所示的裁剪方案（实线部分为裁剪线），经裁剪、折叠制成一个封闭的正方体礼品盒。请你参照图1，帮她设计另外两种不同的裁剪方案，使之经裁剪、折叠后也能成为一个封闭的正方体礼品盒。

图1

    解析：由于正方体有6个面，要把它展成平面图形。其途径有很多，且展成平面图形的样式各异，这就为解答本题提供了很多方案。同学们可以从图2中任选两种方案。

（1）            （2）            （3）            （4）

图2

说明：正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲有以下4类。

（1）“1―4―1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种，如图3。

图3

（2）“1―3―2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种，如图4。

图4

（3）“2―2―2”型。其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种，如图5。

图5

（4）“3―3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种，如图6。

  2. 判断给定的平面图形是不是正方体的平面展开图。

       例2  下列图形中，不是正方体的平面展开图的是（    ）

A                   B                   C                   D

       解析：按照前面“说明”中的分类方法，正方体的平面展开图中的正方形一般有3排，个别是2排，不可能是1排或4排，最长的一排一般在中间，可能有2个、3个或4个正方形，若在最长一排正方形的两侧仍有正方形，则每侧只能有1个正方形与最长的一排正方形相连。

       本题中的A、B、C项都是正方体的平面展开图，而D项中最长的一排正方形不在中间，所以不是正方体的平面展开图，故选D。

  3. 找正方体中相对的面

       例3  图7是一个正方体的平面展开图，如果折成正方体后相对的面上所标的数相等，那么x=______________，y=____________。

图7

       解析：正方体中相对的面若在正方体平面展开图的同一行（或同一列）中，中间应隔1个正方形。

       图7所示的平面展开图中标有2x的正方形与同一排中标有8的正方形中间隔1个正方形，在正方体中是相对的面，从而可得，所以。

       标有y的正方形与标有10的正方形均与中间一列正方形相连，在正方体中是相对的面，所以。

故两空应分别填4、10。

  4. 由带标志的正方体图形判断其平面展开图

       例4  小丽制作了一个相对的面均标有相同图案的正方体礼品盒（如图8），则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是（    ）

图4

解析：由题意可知，正方体礼品盒中每一组相对的面均标有相同图案，而正方体中相对的面展开后是不相邻的，故相邻的两个面不能有相同图案，因此B、C、D不正确，A正确，故选A。