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一、单个正太总体的统计量的分布 从总体X中抽取容量为n的样本
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
,
X_1,X_2,...,X_n,
X1,X2,...,Xn,样本均值与样本方差分别是
X
ˉ
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
,
S
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i,S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\bar X\right)^2
Xˉ=n1∑i=1nXi,S2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉ)2 定理1：设总体X服从正态分布
N
(
μ
,
σ
2
)
N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )
N(μ,σ2)，则样本均值
X
ˉ
∼
N
(
μ
,
σ
2
n
)
\bar X\sim N\left ( \mu ,\frac{\sigma ^2}{n} \right )
Xˉ∼N(μ,nσ2) 定理2：设总体X服从正态分布
N
(
μ
,
σ
2
)
N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )
N(μ,σ2)，则统计量
u
=
X
ˉ
−
μ
σ
/
n
u=\frac{\bar X-\mu }{\sigma /\sqrt{n} }
u=σ/n
Xˉ−μ服从标准正态分布N（0，1） ，即
u
=
X
ˉ
−
μ
σ
/
n
∼
N
(
0
,
1
)
u=\frac{\bar X-\mu }{\sigma /\sqrt{n} } \sim N\left ( 0,1 \right )
u=σ/n
Xˉ−μ∼N(0,1) 定理3：设总体X服从正态分布
N
(
μ
,
σ
2
)
N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )
N(μ,σ2)，则统计量
1
σ
2
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
)
2
\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2
σ21∑i=1n(Xi−μ)2 服从自由度为n的
χ
2
\chi^2
χ2分布，即
χ
2
=
1
σ
2
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
)
2
∼
χ
2
(
n
)
\chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2 \sim \chi^2\left ( n \right )
χ2=σ21i=1∑n(Xi−μ)2∼χ2(n) 定理4：设总体X服从正态分布
N
(
μ
,
σ
2
)
N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )
N(μ,σ2)，则 （1）样本均值
X
ˉ
\bar X
Xˉ与样本方差
S
2
S^2
S2相互独立; （2）统计量
χ
2
=
(
n
−
1
)
S
2
σ
2
\chi^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma^2}
χ2=σ2(n−1)S2服从自由度为n-1的
χ
2
\chi^2
χ2分布，即
χ
2
=
(
n
−
1
)
S
2
σ
2
∼
χ
2
(
n
−
1
)
\chi^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma^2}\sim \chi^2\left ( n-1 \right )
χ2=σ2(n−1)S2∼χ2(n−1) 定理5：设总体X服从正态分布
N
(
μ
,
σ
2
)
N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right )
N(μ,σ2)，则统计量
t
=
X
ˉ
−
μ
S
/
n
t=\frac{\bar X-\mu }{S/\sqrt{n} }
t=S/n
Xˉ−μ服从自由度为n-1的t分布，即：
t
=
X
ˉ
−
μ
S
/
n
∼
t
(
n
−
1
)
t=\frac{\bar X-\mu }{S/\sqrt{n} }\sim t\left ( n-1 \right )
t=S/n
Xˉ−μ∼t(n−1) 二、两个正态总体的统计量的分布 从总体X中抽取容量为
n
x
n_x
nx的样本
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
x
X_1,X_2,...,X_nx
X1,X2,...,Xnx,从总体Y中抽取容量为
n
y
n_y
ny的样本
Y
1
,
Y
2
,
.
.
.
,
Y
n
y
Y_1,Y_2,...,Y_ny
Y1,Y2,...,Yny。假设所有的抽样都是相互独立的，由此得到的样本
X
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
x
)
X_i\left ( i=1,2,...,n_{x} \right )
Xi(i=1,2,...,nx) 与
Y
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
x
)
Y_i\left ( i=1,2,...,n_{x} \right )
Yi(i=1,2,...,nx) 都是相互独立的随机变量。把取自两个总体的样本均值分别记作
X
ˉ
=
1
n
x
∑
i
=
1
n
x
X
i
,
Y
ˉ
=
1
n
y
∑
i
=
1
n
y
Y
i
\bar X=\frac{1}{n_x}\sum_{i=1}^{n_x}X_i, \bar Y= \frac{1}{n_y}\sum_{i=1}^{n_y}Y_i
Xˉ=nx1i=1∑nxXi,Yˉ=ny1i=1∑nyYi 样本方差分别记作
S
x
2
=
1
n
x
−
1
∑
i
=
1
n
x
(
X
−
X
ˉ
)
2
,
S
y
2
=
1
n
y
−
1
∑
j
=
1
n
y
(
Y
−
Y
ˉ
)
2
S_x^2=\frac{1}{n_x-1}\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X-\bar X \right )^2,S_y^2=\frac{1}{n_y-1}\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y-\bar Y \right )^2
Sx2=nx−11i=1∑nx(X−Xˉ)2,Sy2=ny−11j=1∑ny(Y−Yˉ)2 定理6：设总体X服从正态分布
N
(
μ
x
,
σ
x
2
)
N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right )
N(μx,σx2)，总体Y服从正态分布
N
(
μ
y
,
σ
y
2
)
N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right )
N(μy,σy2)，则统计量
U
=
(
X
ˉ
−
Y
ˉ
)
−
(
μ
x
−
μ
y
)
σ
2
n
x
+
σ
2
n
y
U=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{\sqrt{\frac{\sigma ^2}{n_x}+ \frac{\sigma ^2}{n_y}} }
U=nxσ2+nyσ2
(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy) 服从标准正态分布。
U
=
(
X
ˉ
−
Y
ˉ
)
−
(
μ
x
−
μ
y
)
σ
2
n
x
+
σ
2
n
y
∼
N
(
0
,
1
)
U=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{\sqrt{\frac{\sigma ^2}{n_x}+ \frac{\sigma ^2}{n_y}} }\sim N\left ( 0,1 \right )
U=nxσ2+nyσ2
(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)∼N(0,1) 定理7：设总体X服从正态分布
N
(
μ
x
,
σ
x
2
)
N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right )
N(μx,σx2)，总体Y服从正态分布
N
(
μ
y
,
σ
y
2
)
N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right )
N(μy,σy2)，则统计量
T
=
(
X
ˉ
−
Y
ˉ
)
−
(
μ
x
−
μ
y
)
S
w
1
n
x
+
1
n
y
T=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x}+ \frac{1}{n_y}} }
T=Swnx1+ny1
(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)服从自由度为
n
x
+
n
y
−
2
n_x+n_y-2
nx+ny−2的t分布，即
T
=
(
X
ˉ
−
Y
ˉ
)
−
(
μ
x
−
μ
y
)
S
w
1
n
x
+
1
n
y
∼
t
(
n
x
+
n
y
−
2
)
T=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x}+ \frac{1}{n_y}} }\sim t\left ( n_x+n_y-2 \right )
T=Swnx1+ny1
(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)∼t(nx+ny−2) 其中：
S
w
=
(
n
x
−
1
)
S
x
2
+
(
n
y
−
1
)
S
y
2
n
x
+
n
y
−
2
S_w=\sqrt{\frac{\left ( n_x-1 \right )S_x^2+\left ( n_y-1 \right )S_y^2 }{n_x+n_y-2} }
Sw=nx+ny−2(nx−1)Sx2+(ny−1)Sy2
定理8：设总体X服从正态分布
N
(
μ
x
,
σ
x
2
)
N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right )
N(μx,σx2)，总体Y服从正态分布
N
(
μ
y
,
σ
y
2
)
N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right )
N(μy,σy2)，则统计量
F
=
∑
i
=
1
n
x
(
X
i
−
μ
x
)
2
/
n
x
σ
x
2
∑
j
=
1
n
y
(
Y
i
−
μ
y
)
2
/
n
y
σ
y
2
F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu _x \right )^2/n_x\sigma _x^2 }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_i-\mu _y \right )^2/n_y\sigma _y^2}
F=∑j=1ny(Yi−μy)2/nyσy2∑i=1nx(Xi−μx)2/nxσx2服从自由度为
(
n
x
,
n
y
)
\left ( n_x,n_y \right )
(nx,ny)的F分布。即
F
=
∑
i
=
1
n
x
(
X
i
−
μ
x
)
2
/
n
x
σ
x
2
∑
j
=
1
n
y
(
Y
i
−
μ
y
)
2
/
n
y
σ
y
2
∼
F
(
n
x
,
n
y
)
F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu _x \right )^2/n_x\sigma _x^2 }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_i-\mu _y \right )^2/n_y\sigma _y^2} \sim F\left ( n_x,n_y \right )
F=∑j=1ny(Yi−μy)2/nyσy2∑i=1nx(Xi−μx)2/nxσx2∼F(nx,ny) 定理9：设总体X服从正态分布
N
(
μ
x
,
σ
x
2
)
N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right )
N(μx,σx2)，总体Y服从正态分布
N
(
μ
y
,
σ
y
2
)
N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right )
N(μy,σy2)，则统计量
F
=
S
x
2
/
σ
x
2
S
y
2
/
σ
y
2
F=\frac{S_x^2/\sigma _x^2}{S_y^2/\sigma _y^2}
F=Sy2/σy2Sx2/σx2服从自由度为
(
n
x
−
1
,
n
y
−
1
)
\left ( n_x-1,n_y-1 \right )
(nx−1,ny−1)的F分布，即
F
=
S
x
2
/
σ
x
2
S
y
2
/
σ
y
2
∼
N
(
n
x
−
1
,
n
y
−
1
)
F=\frac{S_x^2/\sigma _x^2}{S_y^2/\sigma _y^2}\sim N\left ( n_x-1,n_y-1 \right )
F=Sy2/σy2Sx2/σx2∼N(nx−1,ny−1)
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