前言

正态分布的导出

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正态分布分布在概率论与数理统计中处于核心地位。它最初作为二项分布计算的渐近公式由棣莫弗引进，后被拉普拉斯发展成系统的理论，但把它作为一个分布来进行研究则归功于高斯，他在19世纪初的测量误差研究中导出的误差函数，后被高斯命名为正态分布。因此正态分布又称高斯分布。这项研究又是当代统计学中重要思想——最大似然估计的源头。

在测量中若为 真值，为 观察值，而误差 的分布概率密度为 。经验表明 关于 对称，而且对一切 成立。为了推导方便，还假设 具有连续导函数。

如果有独立同分布的观察值 ，其似然函数为 ，它表征了这组观察值落在 的附近的可能性大小。高斯的假定是：观察值的平均值 作为未知参数 的估值使 达到最大。

下面利用这个假定导出正态分布 若 使似然函数 达到最大，则

记 ,则 ，这时：

当n=2时，方程化为：

由于 ，以及 的任意性得到 对一切实数 成立

当n=3时，方程又可以化为：

由于 ，可知对一切实数 成立

这是柯西函数方程，很容易证明其解比为 .

事实上，若记 ,则方程化为：

这方程对一切 成立，且 是连续函数，因此可令 ,从而得知

因此

有规范化条件 知 ，故

这就是著名的误差函数，它正是正态密度函数。

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