Abstract: 本文承接上文，对于二维联合分布，如何求出二维变量中一个变量的一个分布，也就是标题所说的边缘分布；以及对独立随机变量的讨论。Keywords: Marginal p.f.,Marginal p.d.f.,Independent

今天这篇可能是农历新年前最后一篇关于数学的博客了，过年期间争取把CUDA系列的写出来，大家有兴趣的可以关注一下，过年本来是个休息的时间，但是说实话，现在真的很讨厌过年，尤其是那些关心你生活的所谓亲戚们，可能是变向找平衡，或者是炫耀，具体案例我不说，已经烂大街了，只是觉得有点恶心，人们在内心是相互攀比相互较量，表面还要装作一团和气，然后各种映射暗示你不如他的地方。过年就应该是一家团聚，相互祝福，相互鼓励的。真的想找个没人的地方看一春节书，改变不了就是试着逃避吧。想要逃出生天，好好学习，可能还有机会。

我们继续我们的概率论，我们已经经历了概率论的变化过程是：从试验到样本空间，样本空间到事件，事件到概率（复合事件的概率，包括条件事件，独立事件等等扩展情况），样本空间到随机变量，随机变量的离散概率、连续概率，描述随机变量概率的工具（p.f.,p.d.f.,c.d.f.），然后随机变量被扩展为二维（离散的，连续的，混合的），今天我们在二维联合分布的情况下，推出今天的主要讨论目标：Marginal Distribution(边缘分布)上文我们曾有一个小伏笔，我们想知道联合的p.f.或者p.d.f.怎么通过每个变量的p.f.或者p.d.f.求出的；或者我们反过来，如何通过联合的p.f.或者p.d.f.来得到每个变量自己的（一维的）p.f.或者p.d.f.。这就是我们要说的今天的边缘分布，适用于p.d.f.或者p.d.或者c.d.f.

首先我们来从简单的二维联合分布来看，从有限的离散二维联合分布，举个🌰 ：对于一个二维分布，上文说得到的扔骰子和丢硬币，下面我们的例子硬币和骰子都不是均匀的，所以产生的概率分布与原始例子不太一样：

陈希孺先生在书中说，简单的来说，边缘概率就是上面这个表的边缘，下面的一行，右边的一列所表现出来的分布，下面的一行，就是变量y，试验（丢硬币的）的边缘分布，对应的右侧一列对应的是随机变量x对应的试验是扔骰子。

Definition Marginal c.d.f./p.f./p.d.f. Suppose that X and Y have a joint distribution.The c.d.f. of X derived by theorem 3.4.5. is called the marginal c.d.f. of X.Similarly,the p.f. or p.d.f. of X associated with the marginal c.d.f. of X is called the marginal p.f. or marginal p.d.f. of X

写书的好处就是可以省略掉很多前面已经写了的东西，然后一个指针指过去就可以了，写博客也可以，就像这样3-4，但是我们还是重写一遍定理3.4.5：

Theorem Let $X$ and $Y$ have a joint c.d.f. $F$.The c.d.f. $F_1$ of just the single random variable $X$ can be derived from the joint c.d.f. $F$ as $F_1(x)=lim_{y\to \infty}F(x,y)$.Similarly,the c.d.f. $F_2$ of $Y$ equals $F_2(y)=lim_{x\to \infty}F(x,y)$ ,for $0