在重复测量的条件下，不可避免受到许多误差因素的影响，这些影响最终都反映为测量结果的微小变化。例如，对某认定值为μ的标准物质进行n次独立测量，得到一系列测量值x1、x2、…、xn，如果不考虑系统误差，测量误差分别为δ1=x1-μ、δ2=x2-μ、…、δn=xn-μ。在重复测量条件下，由于大量微弱的随机因素的作用，出现的误差 δ1、δ2 、…、δn是大小不等、符号不同的数值，其数值的分布反映误差的随机性。

表1-2列出了用红外吸收法测定某碳素钢中碳含量的160次重复测量结果。这些未经整理的测量值参差不齐、高低不一，看不出有什么规律，能直接提供的信息有限。

表1-2　碳素钢中碳元素含量的测量结果　　单位：%

为研究数据的分布规律，将这些数据加以整理，可获得许多有用的信息。绘制直方图是对大量原始数据进行初步整理的有效方法。

根据表1-2的测量结果，可按如下方法绘制直方图：

①将测量结果由小到大排列，得最大值xmax=0.597%，最小值xmin=0.554%，极差R=0.043%，平均值=0.5755%；

②将全部测量数据按等组距（0.004%）分成12（m=12）组，计算每组的组中值及组中值的误差；

③计算测量结果在每组中出现的频数和积累频数及频率和积累频率，计算数据列于表1-3。为避免位于分组点上的测量结果在分组时发生跨组的问题，组界值的有效数字比原测量结果多取一位。上下组界值的平均值为组中值。

表1-3　碳含量分组的频数与频率分布表

注：误差指测量组中值与平均值（0.5755%）之差。

从频数和频率的分布基本可看出测量结果的变化规律，测量结果离平均值愈近，其出现的频数和频率愈大；而离平均值愈远，其出现的频数和频率愈小。

④以各组组距为横坐标，频数和频率为纵坐标，绘制测量结果分布直方图（图1-3）。

图1-3　测量结果频数和频率直方图

注：绘制直方图时，分组数（m）可按m=1.52（n-1）2/5算式估计，n为样本量，当n=160时，计算得m=11.55，可分为12组；也有推荐分组数取近似为样本量平方根的数值。表1-3所有参数由表1-2数据通过Excel表格计算完成。

分析测试中，在消除了系统误差的条件下，许多不可控制的随机因素引起测量误差，并使测量值随之变动。因此，测量结果和测量误差都是一个以概率取值的随机变量。图1-3表明了测量结果和测量误差的分布规律：一是测量结果有明显的集中趋势，在平均值0.5755%附近出现的频数（频率）最高，即误差为零附近测量值的频数（频率）最高；二是各测量值相对应平均值而言，大小相等、符号相反的误差出现的频数大体相等；三是正误差和负误差的分布大体呈对称图形，误差小的测量结果出现的频率远比误差大的测量结果出现的频率多，大误差出现的频率趋于零。当测量次数进一步增加，各组距相对频数趋向于一个稳定值，相对频数分布的直方图逐渐趋于一条中间高、两边对称并渐渐降低、最终趋于零的平滑的铃形曲线。这一铃形曲线就是表示测量误差分布的正态分布曲线。

数据处理的目的就是要从这种变动的数据中找出其中的统计规律。分析测试中，可认为随机变量是由众多互相独立的随机因素的微小影响叠加而成。由概率统计理论，随机变量在数值上服从正态分布。因此，测量值和测量误差都可以用正态分布来描述。

正态分布函数是1809年德国数学家高斯（Gauss）推导出来的。

正态分布是连续随机变量x的一种概率分布，其分布函数可表示为：

　　（1-9）

正态分布的概率密度函数为：

　　（1-10）

式中，x是正态分布总体中随机抽取的样本值；μ是正态分布总体的均值，-∞