认识生活中的泊松分布 |
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认识生活中的泊松分布
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● 每周一言
有些人推动生活走，有些人则被生活推着走。 导语公交地铁站根据每天客流量的变化安排班次，银行根据每天的排号人数决定开放柜台数，包子粥铺根据每天卖出多少碗粥和多少个包子来充分备货……这一类常见的生活问题都和泊松分布息息相关。 那么，如何直观理解泊松分布？ 泊松分布要讲泊松分布，得先讲讲二项分布，因为泊松分布是二项分布的极限形式，是由二项分布的公式取极限推导而来。 
二项分布，顾名思义，就是取值结果只有正负两种的分布，用数学语言描述就是关于n个独立的正负实验中成功次数的离散概率分布。 二项分布最典型的实验是抛硬币实验，抛n次硬币，有k次正面朝上的概率是多少？假设正面朝上的概率是p，根据排列组合，从n次中挑选出k次正面朝上，n-k次翻面朝上，发生的概率P为： P=Ckn×pk×(1−p)n−k P = C n k × p k × ( 1 − p ) n − k这个便是二项分布公式，二项分布公式的数学期望μ = np。 
这个时候大家可能发现了，要计算发生k次的概率，在二项分布中必须事先知道一个全局的n才行。然而，在前文提到的实际生活问题中，我们很难或者无法预先知道对应的n是多少。 比如潜在乘坐公交车的乘客总数，潜在需要去银行办业务的客户总数，以及潜在包子粥铺顾客总数等。这里有一个前提假设，每一类人对相应事件的参与概率相同且互不影响，即独立同概率假设。 
人数n未知，难道就没有办法求这个概率P了吗？聪明的小伙伴应该已经联想到了取n的极限来求解P。没错，这个取极限求解P正是泊松分布的推导过程。 P=limn→∞Ckn×pk×(1−p)n−k P = lim n → ∞ C n k × p k × ( 1 − p ) n − k可知，上式中只剩下p是未知的，根据二项公式的数学期望μ = np，我们知道p= μ / n，带入上式并推导计算P的极限得： P=P=P=limn→∞Ckn×(μn)k×(1−μn)n−klimn→∞n(n−1)(n−2)...(n−k+1)k!μknk(1−μn)n−klimn→∞μkk!n(n−1)...(n−k+1)nk(1−μn)−k(1−μn)n P = lim n → ∞ C n k × ( μ n ) k × ( 1 − μ n ) n − k P = lim n → ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! μ k n k ( 1 − μ n ) n − k P = lim n → ∞ μ k k ! n ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) n k ( 1 − μ n ) − k ( 1 − μ n ) n将上式各个部分拆开来计算，根据指数e的极限求法，我们能得到： limn→∞limn→∞n(n−1)...(n−k+1)nk(1−μn)−k=1(1−μn)n=e−μ lim n → ∞ n ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) n k ( 1 − μ n ) − k = 1 lim n → ∞ ( 1 − μ n ) n = e − μ将上式带入极限求解，P的极限最终变成了只和k、μ相关的式子，即泊松分布公式。 Pk==limn→∞Ckn×pk×(1−p)n−kμkk!e−μ(6) P k = lim n → ∞ C n k × p k × ( 1 − p ) n − k (6) = μ k k ! e − μ有了泊松分布公式，已知均值μ，我们不需要知道总数n，就能求得k值对应的概率是多少。 
拿之前的包子粥铺作为例子直观说明一下泊松分布公式的用法：已知包子粥铺历史每天平均卖出μ=100个包子，为了保证未来每天不够卖的概率低于10%，每天最少需要准备多少个包子？ 假设最少需要准备n个包子，根据泊松公式可得如下不等式： ∑k=1nPk=∑k=1n100kk!e−100>1−10%=0.9 ∑ k = 1 n P k = ∑ k = 1 n 100 k k ! e − 100 > 1 − 10 % = 0.9可知，满足上式的最小n即为问题的解。 以上便是泊松分布的讲解，敬请期待下节内容。 结语感谢各位的耐心阅读，后续文章于每周日奉上，敬请期待。欢迎大家关注小斗公众号 对半独白！ 
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