|
=
1
2
π
σ
1
σ
2
e
−
A
C
−
B
2
2
A
(
q
−
1
)
∫
−
∞
+
∞
e
−
1
2
(
q
−
1
)
A
(
x
−
B
A
)
2
d
x
=
1
2
π
σ
1
σ
2
e
−
A
C
−
B
2
2
A
(
q
−
1
)
∫
−
∞
+
∞
e
−
1
2
(
A
q
)
−
1
(
x
−
B
A
)
2
d
x
=
1
2
π
σ
1
σ
2
e
−
A
C
−
B
2
2
A
(
q
−
1
)
(
2
π
(
A
q
)
−
1
)
1
2
π
(
A
q
)
−
1
∫
−
∞
+
∞
e
−
1
2
(
A
q
)
−
1
(
x
−
B
A
)
2
d
x
=
1
2
π
q
−
1
e
−
A
C
−
B
2
2
A
(
q
−
1
)
(
2
π
(
A
q
)
−
1
)
其中
σ
1
2
σ
2
=
q
−
1
A
C
−
B
2
A
=
(
σ
1
σ
2
)
2
σ
1
2
+
σ
2
2
(
z
−
μ
1
−
μ
2
)
2
=
1
2
π
q
−
1
(
(
A
q
)
)
e
−
A
C
−
B
2
2
A
(
q
−
1
)
=
1
2
π
(
A
)
e
−
1
2
(
σ
1
2
σ
2
)
(
σ
1
σ
2
)
2
σ
1
2
+
σ
2
2
(
z
−
μ
1
−
μ
2
)
2
=
1
2
π
(
σ
1
2
+
σ
2
2
)
e
−
1
2
1
σ
1
2
+
σ
2
2
(
z
−
(
μ
1
+
μ
2
)
)
2
=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(q^{-1})}{A(x-\frac{B}{A})^2}}dx \\=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(Aq)^{-1}}{(x-\frac{B}{A})^2}}dx \\=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} (\sqrt{2\pi}\sqrt{(Aq)^{-1}}) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{(Aq)^{-1}}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(Aq)^{-1}}{(x-\frac{B}{A})^2}}dx \\=\frac{1}{2\pi\sqrt{q^{-1}}}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} (\sqrt{2\pi}\sqrt{(Aq)^{-1}}) \\其中\sigma_1^2\sigma^2=q^{-1} \\ \frac{AC-B^2}{A} =\frac{(\sigma_1\sigma_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-\mu_1-\mu_2)^2 \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{q^{-1}}(\ \sqrt{(Aq)})}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(\sqrt{A})}e^{-\frac{1}{2(\sigma_1^2\sigma^2)}\frac{(\sigma_1\sigma_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-\mu_1-\mu_2)^2} \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})} e^{-\frac{1}{2 }\frac{1}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-(\mu_1+\mu_2))^2}
=2πσ1σ21e−2A(q−1)AC−B2∫−∞+∞e−2(q−1)1A(x−AB)2dx=2πσ1σ21e−2A(q−1)AC−B2∫−∞+∞e−2(Aq)−11(x−AB)2dx=2πσ1σ21e−2A(q−1)AC−B2(2π
(Aq)−1
)2π
(Aq)−1
1∫−∞+∞e−2(Aq)−11(x−AB)2dx=2πq−1
1e−2A(q−1)AC−B2(2π
(Aq)−1
)其中σ12σ2=q−1AAC−B2=σ12+σ22(σ1σ2)2(z−μ1−μ2)2=2π
q−1
( (Aq)
)1e−2A(q−1)AC−B2=2π
(A
)1e−2(σ12σ2)1σ12+σ22(σ1σ2)2(z−μ1−μ2)2=2π
(σ12+σ22
)1e−21σ12+σ221(z−(μ1+μ2))2 因此:
Z
=
X
+
Y
∼
N
(
μ
1
+
μ
2
,
σ
1
2
+
σ
2
2
)
Z=X+Y\sim{N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
Z=X+Y∼N(μ1+μ2,σ12+σ22)
|