最小二乘法拟合正弦函数

2023-11-03 20:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

最小二乘法拟合正弦函数

y = s i n 2 π x y=sin2\pi x y=sin2πx

y + ϵ y+\epsilon y+ϵ, ϵ \epsilon ϵ~N(0,1) #给y加上高斯分布的噪点

( X , Y ) (X,Y) (X,Y)

attempt to fitting the function : y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . + a n x n y=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_nx^n y=a0+a1x+a2x2+..+anxn

#导入包 import numpy as np import scipy as sp from scipy.optimize import leastsq import matplotlib.pyplot as plt #定义正弦函数 def sine_func(x): return np.sin(2*np.pi*x) #定义多项式函数 def fit_func(p,x): #p为数组 f=np.poly1d(p) #poly1d函数能根据输入的数组p生成一个多项式 return f(x)

np.poly1d([1,2,3])

1 ∗ x 2 + 2 ∗ x 1 + 3 ∗ x 0 1*x^2+2*x^1+3*x^0 1∗x2+2∗x1+3∗x0

policy: min ⁡ a ( y − ( a x + b x 0 ) ) 2 \min_a (y-(ax+bx^0))^2 mina(y−(ax+bx0))2

#评价差 error def error_func(p,x,y): error=fit_func(p,x)-y # error=将x值带入多项式后减去y值 return error #返回真实值与我们拟合的曲线上对应的值的差 x=np.linspace(0,1,10) #linspace函数产生0-1之间的步长为0.1的数组 y_=sine_func(x) y=[np.random.normal(0,0.1)+y1 for y1 in y_] #得到加上噪点后的y值 print(y) [0.018863818084578765, 0.643352435292383, 0.9995270889071429, 0.8859076268379011, 0.3123492536633993, -0.2445361290110839, -0.857851035405584, -0.7992334756421094, -0.6318390256462963, -0.15169614809124077] x_points=np.linspace(0,1,1000) #leastsqura.. def fitting(M=0): #得到拟合M次的曲线 p_init=np.random.rand(M+1) #生成M+1个服从[0,1)均匀分布的随机样本值 p_lsq=leastsq(error_func,p_init,args=(x, y)) # 最小二乘法函数三个参数：误差函数、函数参数列表、数据点 print('parameters:', p_lsq[0]) #p_lsp函数返回值的第一个为拟合曲线的参数 plt.plot(x_points,sine_func(x_points),label='real') # real曲线 plt.plot(x_points,fit_func(p_lsq[0],x_points),label='fitting') #拟合曲线 plt.plot(x,y,'bo', label = 'noise') #训练值样本点 'b0'画出蓝色的圆圈 plt.legend() return p_lsq fitting(M=0) parameters: [0.01748444] (array([0.01748444]), 3)

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fitting(M=1) parameters: [-1.37690968 0.70593928] (array([-1.37690968, 0.70593928]), 1)

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fitting(M=5) parameters: [-5.67180721e+01 1.37260155e+02 -9.56060001e+01 9.15613970e+00 5.73126111e+00 1.54421206e-02] (array([-5.67180721e+01, 1.37260155e+02, -9.56060001e+01, 9.15613970e+00, 5.73126111e+00, 1.54421206e-02]),1)

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fitting(M=9) parameters: [ 2.44048348e+04 -1.07709860e+05 1.99353327e+05 -2.00963213e+05 1.19785217e+05 -4.27681566e+04 8.80453207e+03 -9.53138175e+02 4.62865992e+01 1.88638181e-02] (array([ 2.44048348e+04, -1.07709860e+05, 1.99353327e+05, -2.00963213e+05, 1.19785217e+05, -4.27681566e+04, 8.80453207e+03, -9.53138175e+02, 4.62865992e+01, 1.88638181e-02]),2)

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policy: min ⁡ a ( y − ( a x + b x 0 ) ) 2 + λ ∥ a ∥ 2 \min_a (y-(ax+bx^0))^2+\lambda \Vert a \Vert_2 mina(y−(ax+bx0))2+λ∥a∥2

penalty parameter: λ \lambda λ

regularization: ∥ a ∥ 2 \Vert a \Vert_2 ∥a∥2

lam=0.001 def error_plus_regu(p,x,y): error=y-fit_func(p,x) error=np.append(error,np.sqrt(0.5*lam*np.square(p))) #sqrt函数求算数平方根 square函数平方 return error M=3 p_init=np.random.rand(M+1) p_lsq = leastsq(error_func, p_init, args=(x,y)) p_lsq_regu=leastsq(error_plus_regu,p_init,args=(x,y)) #添加正则项后的参数学习结果：p_lsq_regu plt.plot(x_points,sine_func(x_points),label='real') #follow sin函数的plot plt.plot(x_points,fit_func(p_lsq_regu[0],x_points),label='regulation') #follow lasso的plot plt.plot(x_points,fit_func(p_lsq[0],x_points),label='fitting') # 原始fitting plot plt.plot(x,y,'bo', label = 'noise')#训练值样本点 plt.legend()

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