（ustc🚀166d left，封面Pixiv ID：103836174）

前阵子我正好学到一元函数的导数那一块，用得不亦乐乎。可惜，高中课本并没有给出部分函数的导数的推导过程。于是我便寻思着自己推推看能不能出来🤔，研究出了几种推导方法。

下文我们认为正弦函数的导数和第一个重要极限是未知或待验证的。同时，本文也不会去区分谁推谁，二者是可以互推的（只要不出现循环论证）

方法一：几何法

先证明一下第一个重要极限

注意，此处不能使用洛必达来证明，因为需要用到正弦函数的导数，而下文提到的正弦函数的导数的推导方法恰恰是通过第一个重要极限推导出来的，故可用几何法来证明：

如图所示，建系，画单位圆，任取圆上一点，记，作x轴交x轴于点。取圆与x轴非负半轴的交点，延长与x轴上过点的垂线交于点

（取倒数）

夹逼准则，两边取极限，得

于是就可以用第一个重要极限来推导正弦函数的导数了

            （和差化积）

            （非零因子代入）

            （由第一个重要极限可进行等价无穷小代换）

方法二：级数展开+洛必达

不妨考虑正弦函数的级数定义：

再来个余弦函数

对展开出来的幂级数逐项求导，不难发现：

于是我们便推出了正弦函数的导数，可以用洛必达来证明第一个重要极限了！

当然，高中课本对于余弦函数的导数也是一笔带过了。本质上其实也差不多，可以使用本文提到的两种方法进行推导。

知其然，更要知其所以然

（本文结）