交流电路想必大家一定不会陌生，自从上世纪初被特斯拉应用以来，交流电路与我们的日常生活密不可分。而生活中常见的电路莫过于正弦交流电路了。

要描述一个随时间按正弦规律变化的物理量 a=A\sin(\omega t+\varphi) ，我们需要了解它的振幅 A 、角频率 \omega 以及初相位 \varphi ，当然，在电工学当中我们对这三个量的称呼是幅值 A_m 、角频率 \omega 以及初相角 \varphi (区别不大)，它们也被称为正弦量的三要素。

首先来介绍角频率，与这个量直接相关的物理量有信号的周期 T 、频率 f 。

下面的公式大家应该很熟悉了

T=\frac{2\pi}{\omega}，f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{T}

接下来是幅值

在电工学中正弦量的幅值由于是一个与时间无关的量，因此必须大写，用 I_m、U_m、E_m 等表示

那么不加 m 的大写字母 I、U、E 表示什么呢，答案是有效值。

有效值的概念与电路的热效应相关，与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值

在正弦交流信号中，我们有 U=\frac{U_m}{\sqrt{2}},I=\frac{I_m}{\sqrt{2}} （对相应的平方积分再取平均的结果）

这里需要注意的是一般的交流电压表和交流电流表测量出的都是相应的有效值，交流设备铭牌标注的电压与电流也均为有效值。

最后便是大家相当头疼的初相角了，在描述正弦量的时候， \sin 中的那一堆东西 (\omega t+\varphi) 表示物理量在某个时刻中的相位，它反应正弦量随时间变化的进程。

而其中的 \varphi 表示正弦量在 t=0 时的相角，称为初相位（或初相角）。它给定了观察正弦波的起点或者参考点。

在两个连续的正弦信号频率相同的情况下，我们可以提出相位差的概念。

两个同频率的正弦量之间的初相位之差（或者是同一时间内的相位之差），就是相位差。

这个相位差与计时起点的选择没有关系，不同频率之间的正弦量比较相位差没有意义。

在描述电路中的正弦量的时候，由于正弦量的频率一般都比较固定，并且现阶段常见情况下在同一个交流电路中我们使用的都是同一个频率（国家统一标准为 50\rm Hz），因此我们在处理电路中的相关问题时只需要考虑其它两个物理量就行了。

但是即便如此，在实际运算的过程中列式子什么的还是很麻烦，人们还想利用直流电路那一套公式来对这些式子进行处理。因此人们引入了用复数（为了与电流瞬时值区别，这里的虚数单位使用 \rm j 表示）表示的相量，把正弦量对应的相量代入直流电路的公式中，按照复数的运算方法计算出所求正弦量对应的相量，然后再转换回对应的正弦量即可得到对应的结果。

具体来讲就是

已知正弦量\rightarrow 化为已知相量\rightarrow按照直流电路规律进行复数运算\rightarrow求得未知相量\rightarrow表示未知正弦量

这里要特别注意的是：正弦量不是相量！！因此在表示正弦量对应的相量时，常常在正弦量大写字母 I、U、E、I_m、U_m、E_m 上打上点，

即 \dot{I}、\dot{U}、\dot{E}、\dot{I}_m、\dot{E}_m、\dot{U}_m 来表示对应的相量。

这里需要注意一些分析正弦交流电路时表示符号的写法：

上面三个是可用于表示一个电流正弦量的参数，下面两个是可用于表示正弦量的两种常用相量，这两种相量相当于两份可以相互替代的工具。进行运算时我们可以选择使用有效值相量，也可以选择使用最大值相量，经过复数运算之后得到的也是相应类型的相量，不过它们最终都可以化为同一个正弦量。

下面来看一个例子

i_1=30\sqrt2\sin(314t+42^\circ){\rm A},\quad i_2=45\sqrt2\sin(314t-65^\circ){\rm A}

求 i_1+i_2

如果我们使用“有效值相量”（如果是“最大值相量”在表示时就不需要除以 \sqrt 2 了）

那么我们可以得到 \dot {I_1}=30{\rm e^{j·42^\circ }},\dot {I_2}=45\rm e^{j·(-65^\circ) } （这个地方一时打不出来用 \angle 表示的公式，就全部用指数形式来表示了）

由欧拉公式展开，我们得到

\dot {I_1}=30(\cos42^\circ+{\rm j}\sin42^\circ),\dot {I_2}=45[\cos(-65^\circ)+{\rm j}\sin(-65^\circ)]

这时候可以很轻松地计算出 \dot {I}=\dot {I_1}+\dot {I_2}=41.3-\rm j·20.8(\rm A)

接下来就是把这个对应的相量 \dot {I} 化为正弦量了。

注意，这个有效值相量的模长就是正弦量中的有效值。

I=\sqrt{41.3^2+20.8^2}\rm{{A}}=46.2A

初相角 \varphi=\arctan(\frac{-20.8}{41.3})=-27^\circ （都是估算，就没必要考虑小数点后位数不够的问题了）

最终我们得到

i=i_1+i_2=\sqrt{2}I\sin(\omega t+\varphi)=\sqrt{2}·46.2\sin(\omega t-27^\circ)

这样一来我们就可以很方便地解出交流电路中相关的电流量和电压量了。

那么到了这个地方有人或许会问，在直流电路中我们有一个叫做电阻的东西，定义为 R=\frac{U}{I} ，那么移植到相量的复数运算中之后，这个复数结果 Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}} 又表示什么呢？

可能大家已经猜到了，这个 Z 就是在交流电路中扮演“电阻”角色的阻抗。

其实对于一般的电阻来讲，其两端电压与电流的相位差为 0 ，则相应的阻抗为

Z_R=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U\rm e^{j·\varphi}}{I\rm e^{j·\varphi}}=\frac{U}{I}{\rm e}^{\rm j·0}=R\rm e^{j·0} ，这个复数的虚部为 0 ，实部与 R 相等，但是仍然不能与电阻的阻值划上等号，因为这个东西的本质仍然是一个复数，与电阻这个物理量有着本质区别。

看起来仅仅靠电阻我们并不能玩出什么新花样，不能够引起电流和电压之间的相位变化。

因此我们在交流电路中引入电容和电感，用于调节电流与电压之间的相位差。

在此之前，我们来回顾一下电容与电感的相关公式

电容满足： \frac{{\rm d}Q}{{\rm d}u}=\frac{i{\rm d}t}{{\rm d}U}=C,\qquad\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}=\frac{i}{C} （建议去参考参考大物书或者物理选修3-2）

由于正弦信号的特性，我们有 \frac{U_m{\rm d}\sin(\omega t+\varphi)}{{\rm d}t}=\frac{i}{C} ，即

i=\omega CU_m\sin(\omega t+\varphi+90^{\circ})

将 i 表示成对应的有效值相量，我们有

\dot{I}=\omega CU{\rm e}^{{\rm j}·(90^\circ+\varphi)}=\omega C(U{\rm e}^{{\rm j}·\varphi})·{\rm e}^{{\rm j}·90^{\circ}}={\rm j}\omega C\dot{U}

Z_C=\frac{\dot U}{\dot I}=\frac{1}{{\rm j}\omega C}

电感满足： u=L\frac{{\rm d}i}{{\rm d}t} （同样建议去参考参考大物书或者物理选修3-2）

同样由于正弦信号的特性，我们有 u=\omega LI_m\sin(\omega t+\varphi+90^{\circ}) 。

将 u 表示为相应的有效值相量，我们有

\dot U=\omega LI{\rm e}^{\rm j(\varphi+90^{\circ})}=\omega L(I{\rm e}^{\rm j\varphi}){\rm e}^{{\rm j}·90^\circ}={\rm j\omega }L\dot I

Z_L=\frac{\dot U}{\dot I}={\rm j}\omega L

由此我们可以发现电容和电感对电流和电压的相位差 Z 调节起着相反的作用：电容倾向于使电流的相位超前于电压的相位，而电感倾向于使电流的相位落后于电压的相位。

而阻抗的性质其实是十分良好的，在交流电路当中，它可以像直流电路中的电阻一样满足线性的串联并联规律，并且满足复数形式的欧姆定律 \dot U=\dot I Z （但即便如此，我们还是要注意一点：由于阻抗与电流与电压的相位其实是没有直接关系的，因此我们只能把它视为一个单纯的复数而不是相量，上面不能加点）

不仅如此，由于电容、电感和电阻都是线性元件，因此如果将直流电路系列公式中的 U 换成 \dot U 、 I 换成 \dot I 、 R 换成 Z ，我们就可以放心地在交流电路中使用了。

在此基础上，接下来分析一下正弦交流电路的功率。

我们知道在直流电路中电路的功率 P=UI ，那么我们是否也能通过这样的方式来定义一个 \dot P=\dot U\dot I 呢？

答案是否定的，因为在交流电路中功率 p 并不一定是一个正弦量，其频率也与电流、电压不同，显然不能用相量描述。

那么我们能用什么方法来表述电路的功率呢？

让我们回到最基本的电压电流瞬时值表达式

p=ui

设电压与电流的相位差为 \varphi ，不妨设电压的初相为 0

i=I_m\sin(\omega t),u=U_m\sin(\omega t+\varphi)

交流电路的功率 p_合=ui=U_mI_m\sin(\omega t)\sin(\omega t+\varphi)\\=U_mI_m\cos\varphi\sin^2\omega t+U_mI_m\sin\varphi\sin\omega t\cos\omega t

在每一瞬间，电源提供的功率一部分 p 被耗能元件消耗掉（前一项），另一部分 q 与储能元件进行能量交换（后一项）。

在一个周期之内进行积分之后再除以周期，得到相应功率的平均值，我们可以得到

有功功率 P=UI\cos\varphi （单位是 \rm W ）

无功功率 Q=UI\sin\varphi （单位是 \rm var ）

总功率（视在功率） S=\sqrt{P^2+Q^2}=UI （单位是 \rm V·A ）

接下来结合一个具体的题目看一看这些公式的运用。

这个题第一眼就让人感觉很懵，这时就需要我们从条件中发掘隐含信息了。

我们不妨先写出电容与电感部分的阻抗式

Z={\rm j}\omega L_1+\frac{{\rm j}\omega L_2·\frac{1}{{\rm j}\omega C}}{{\rm j}{\omega}{L_2}+\frac{1}{{\rm j}\omega C}}={\rm j}\omega L_1+\frac{{\rm j}\omega L_2·\frac{1}{{\rm j}\omega C}}{{\rm j}{\omega}{L_2}-{\frac{\rm j}{{}\omega C}}}

当 U_R=0 时，我们可以认为 Z 趋近于无穷大，此时我们有 \omega_1=\sqrt{\frac{1}{L_2C}}=1000\rm rad/s ，可以据此求得 L_2=\frac{1}{\omega_1^2C}

这种情况被称为并联谐振。

当 U_R=10\rm V 时，我们可以认为 Z 趋近于 0 ，此时我们有

{\rm j}\omega_2 L_1-\frac{{\rm j}\frac{L_2}{C}}{{\rm }{\omega_2}{L_2}-{\frac{\rm 1}{{}\omega_2 C}}}=0

即 L_1 =\frac{L_2}{\omega_2^2 C L_2-1} 时，满足条件。

如果将 L_2 与 C 的并联等效为一个电容，再与 L_1 串联，题中的这种情况被称为串联谐振。

这两种谐振在信号接收时的滤波等方面也具有着非常重要的运用。

本来还想写点三相交流电路的，鉴于篇幅的限制就先暂时搁置了，不过总体上来讲运算的法则在这篇都已经提到了，只要理解了本篇内容相信可以比较好地解决三相电路的相关计算问题（下次再提到三相电路时就是电动机了）

希望对大家的复习能够有所帮助。