根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

例： 判断矩阵是否正定

设 A 是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。 对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 性质:

等价条件:

XTMX≥0 XTY≥0  (Y=MX) cos(θ)=XTY||X||∗||Y||≥0 ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度，\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。