欧拉角奇异性产生的原因 |
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1 欧拉角奇异性的原因.
1.1 奇异性的定义 奇异性,英文Singularity, wiki中的解释为 In mathematics, a singularity is in general a point at which a given mathematical object is not defined, or a point of an exceptional set where it fails to be well-behaved in some particular way, such as differentiability. 翻译成中文为 数学中,奇异性通常指的是在一个点处,某个数学对象未被定义,或者一个集合中的某个点处的某个数学特性不好,比如不可微. 这个解释还是比较抽象。我们从Singularity 这个词的本身来看,它对应的形容词为Singular, 既有“单独的,单数的”,也有“奇特的,奇怪的”意思。而“奇异性” 作为从 Singularity 翻译过来的词,简单来说它就是指在某一点处,研究对象的性质比较奇怪。 1.2 欧拉角的奇异性问题 欧拉角有不同的描述方法,详见wiki,这里用常见的来描述飞机姿态角为例来说明,即绕着内部坐标系(intrinsic)或者机体坐标系,旋转顺序为3-2-1的姿态角描述,如图1,其中x-y-z为地面坐标系, ![]() 首先,我们来考虑这样一个问题 给定一个姿态,是否只有一种旋转方法使得地面坐标系 x,y,z 轴与飞行器机体坐标系的 x,y,z 轴重合,也即无人机是否只有一种 答案是否定的,考虑一种特殊情况,当机头向上时,即飞机呈现竖直向上飞时的姿态时,此时, ![]() 下面给出数学上的严格推导,导出欧拉角在某些特殊位置存在不唯一的解.这里将借助于旋转矩阵,即 由地面坐标系到给定的飞机姿态可以得到唯一的旋转矩阵 则由(1) 可得 当 角度 [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Singularity_(mathematics) [2] https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles [3] https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Rotation_matrix_from_axis_and_angle [4] https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensions#Conversion_formulae_between_formalisms
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