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在实际计算中不可避免的要产生舍人误差,所以就有这样的问题,初始(或某一步)产生的误差在以后计算中是否会无限制地扩大,以致得不到所要求的近似解.这个问题称为稳定性问题. 定义9.1若存在常数c和,使当时,对任意初值有 (9.25) 则称数值方法稳定. 上述稳定的意义是,对于,数值解连续地依赖于初值.只有稳定的数值方法才是适用的方法. 下面讨论欧拉法的稳定性. 定理9.2若关于y满足李普希兹条件,则欧拉法稳定. 证明 设分别是从初值用欧拉法计算公式(9.4)求得的近似值,则 两式相减得 从而 (9.26) 反复利用式(9.26)得 取,用定义得欧拉法稳定. 上面讨论的稳定性实际是在充分小步长情况下讨论的,然而在实际计算中只能取有限的固定步长,它不可能随意缩小.那么,对固定的步长,初始(或某步)产生的误差,在以后计算中是否会不再扩大,这就是绝对稳定性问题. 定义9.2若对固定步长,对任意的初值有 (9.27) 数值方法对绝对稳定. 由于绝对稳定性依赖于,全面分析比较困难,所以仅对“试验方程”, , (9.28) 讨论数值方法的绝对稳定性. 在从复平面上,数值方法对方程(9.28)为绝对稳定的复数从集合,称为此方法的绝对稳定区域.绝对稳定区域越大,方法适应性越大,因而也就越优越.具有有限绝对稳定区域的方法称为条件稳定,否则称为无条件稳定。 例4 讨论欧拉法的绝对稳定性。 解:将欧拉法用于方程(9.28)得 两式相减得 显然,当时有,因此得满足不等式 的从为欧拉法的绝对稳定域,它是以-l为心,以1为半径的圆域,见图2。 图2 下面讨论标准四阶龙格一库塔方法(9.22)的绝对稳定性.将(9.22)用到试验方程(9.28)上,经整理得- 对应的误差方程为 所以,标准四阶龙格一库塔方法(9.22)的绝对稳定区域为 (9.29) 在复平面上这个区域如图9―3所示,可看出当为实数时,它的绝对稳定,闭区间 [-2.78,0].在图3和表4中给出了各阶龙格一库塔方法的绝对稳定区域及所含实区间. 图3
表4 阶 绝对稳定区域 实区问 1 2 3 4 [-2.0] [-2,0] [-2.51,0] [-2.78,0] 练习9.3 1.讨论后退欧拉法的整体截断误差及收敛性 2.求出后退欧拉法的绝对稳定区域. 练习题答案 上一单元 习题1.提示: 当时, 2.解将后退欧拉法用于实验方程 两式相减得 整理得,当时,则有, 所以后退欧拉法的绝对稳定域为:以为中心,半径为1的圆外区域.
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