欧拉公式是复数的一个基本公式，表达式为：

e i x = cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) eix=cos(x)+isin(x)

傅里叶变换的定义为：

F { f ( x ) } = F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i k x   d x \mathcal{F}\{f(x)\} = F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi ikx} \, dx F{f(x)}=F(k)=∫−∞∞​f(x)e−2πikxdx

为了利用欧拉公式证明傅里叶变换，我们需要将指数函数的形式转换为正弦和余弦函数的形式。根据欧拉公式：

e − 2 π i k x = cos ⁡ ( 2 π k x ) − i sin ⁡ ( 2 π k x ) e^{-2\pi ikx} = \cos(2\pi kx) - i\sin(2\pi kx) e−2πikx=cos(2πkx)−isin(2πkx)

现在，我们将傅里叶变换的定义代入上述公式：

F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ( cos ⁡ ( 2 π k x ) − i sin ⁡ ( 2 π k x ) )   d x F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) (\cos(2\pi kx) - i\sin(2\pi kx)) \, dx F(k)=∫−∞∞​f(x)(cos(2πkx)−isin(2πkx))dx

我们可以将积分分成两个部分：

F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) cos ⁡ ( 2 π k x )   d x − i ∫ − ∞ ∞ f ( x ) sin ⁡ ( 2 π k x )   d x F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos(2\pi kx) \, dx - i \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \sin(2\pi kx) \, dx F(k)=∫−∞∞​f(x)cos(2πkx)dx−i∫−∞∞​f(x)sin(2πkx)dx

这两个积分分别对应于余弦变换和正弦变换。因此，傅里叶变换可以表示为两个积分的组合：

F ( k ) = F c { f ( x ) } − i F s { f ( x ) } F(k) = \mathcal{F}_c\{f(x)\} - i\mathcal{F}_s\{f(x)\} F(k)=Fc​{f(x)}−iFs​{f(x)}

其中， F c { f ( x ) } \mathcal{F}_c\{f(x)\} Fc​{f(x)} 是余弦变换：

F c { f ( x ) } = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) cos ⁡ ( 2 π k x )   d x \mathcal{F}_c\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos(2\pi kx) \, dx Fc​{f(x)}=∫−∞∞​f(x)cos(2πkx)dx

F s { f ( x ) } \mathcal{F}_s\{f(x)\} Fs​{f(x)} 是正弦变换：

F s { f ( x ) } = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) sin ⁡ ( 2 π k x )   d x \mathcal{F}_s\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \sin(2\pi kx) \, dx Fs​{f(x)}=∫−∞∞​f(x)sin(2πkx)dx

因此，利用欧拉公式，我们将傅里叶变换的复指数形式转换为余弦和正弦的积分形式。通过这个过程，我们证明了傅里叶变换可以通过欧拉公式分解为实部和虚部的形式。