欧几里得空间、希尔伯特空间、赋范空间等空间的概念与辨析 |
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原标题:欧几里得空间、希尔伯特空间、赋范空间等空间的概念与辨析 1. 空间:元素组合在一起构成集合,对这些组合在一起的元素定义它们相互之间的某种“结构/关系”后就成为了“空间”。 2. 度量空间:如果元素之间“结构/关系”是用“距离”描述的,则称度量空间。“距离”的定义满足如下要求: - 非负性: - 非退化性: - 对称性: - 三角不等式: 3. 线性空间(向量空间): - 在空间中定义加法(+)运算和乘法(×)运算 - 加法(+)封闭:对于任意的, 且唯一 - 乘法(×)封闭:对于任意的, 且唯一(是一个空间) - 加法(+)运算和乘法(×)运算如果满足加法结合律、加法交换律、加法的零元、加法的逆元、数乘的结合律、数乘的单位元、分配律则称为线性空间 4. (线性)赋范空间:定义范数的空间为赋范空间,由于范数是定义在线性空间上的,所以赋范空间一定是线性的,有时可简称为赋范空间。 - 范数需满足 - 非负性: - 非退化性: - 齐次性: 展开全文- 三角不等式: 5. 内积空间:定义与角度相关的”结构/关系“——内积(Inner product)又称标量积(Scalar product)、点积(Dot product) - 内积定义为,内积满足如下四个条件: - 共轭对称性: - 第一变元的线性性: - 第二变元共轭线性: - 非负性: - 内积空间具有基于空间本身的内积所自然定义的范数,所以内积空间一定是赋范空间,进而也属于度量空间、线性空间 6. 希尔伯特(Hilbert)空间:内积空间+完备性 - 完备性:距离空间中的柯西列是否都收敛 - 柯西列:设为度量空间,取度量空间上的序列,当对任意的,存在,当时满足时,称为柯西列 - 收敛:设为度量空间,为中的数列,若存在使得,则在中收敛,,称为收敛列,称为的极限,记做 。 - 例如在空间中,数列是一个柯西列,但不收敛。由该例可知,一个完备的度量空间一定是一个闭集 7. 巴纳赫(Banach)空间:完备的(线性)赋范空间 8. 欧几里得(Euclidean)空间:将希尔伯特空间限制在实数域和有限维,同时希尔伯特空间时欧几里得空间的推广。返回搜狐,查看更多 责任编辑: |
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