起因是最近在努力想把傅立叶级数和傅立叶变换重学一遍, 完全搞懂. 傅立叶变换用欧拉公式转换成复系数的形式看起来是非常优雅的. 但是遗憾我已经不记得欧拉公式是怎么来的了. 上网查了些资料, 终于搞清楚了.

先把欧拉公式写在这里:

\[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \begin{equation*} e^{ix} = \cos x + i \sin x \end{equation*} \]

这里\(\mathrm{e}\)是自然对数的底, 也叫欧拉数. \(\mathrm{e} \approx 2.718\). \(i\)是虚数单位.

这个公式右边是一个关于\(x\)的三角函数, 函数值落在复数数域里, 也就是一个\(\mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}\)的映射.

而左边是一个指数为复数的指数函数. 可是, 指数为复数的幂运算是怎么定义的? 所以为了搞清楚所有这些概念. 需要把复数域幂运算, 复数域对数运算一起串起来. 写了这篇总结相信再不会忘记了.

先来回顾一下初等代数里关于幂运算的内容.

这三个合在一起将运算\(x^n\)里的\(n\)延拓到整数域. 根据这几个定义可以轻松证明下列幂运算的运算性质.

同底数相乘除,指数相加减: \[ \begin{equation} \begin{aligned} x^a \times x^b = x^{a+b} \\ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} \end{aligned} \end{equation} \label{eq:sameBaseTimesDivide} \]

幂的幂,指数相乘: \[ \begin{equation} \begin{aligned} (x^a)^b = x^{(a \times b)} \end{aligned} \end{equation} \label{eq:powerPower} \]

指数分配: \[ \begin{equation} \begin{aligned} (x \times y)^z=x^z \times y^z \\ \left({\frac{x}{y}}\right)^z=\frac{x^z}{y^z} \end{aligned} \end{equation} \label{eq:powerDistributiveLaw} \]

我们也可以轻松证明, 把运算里的底数\(x\)延拓到整个非零复数域, 这些运算性质依然成立.

如果我们在运算\(a^x\)中把底数\(a\)的定义域限定到正实数. 对于\(\forall a \in \mathbb{R}^+\), \(a^x\)变为关于\(x\)的指数函数. 进一步延拓指数的定义范围.

由于已知有理数是跟分数一一对应的可数集合. 所以上面的定义5就把指数延拓到整个有理数集合了.

我们肯定希望我们定义的无理数指数可以使指数函数\(a^x\)是个连续函数. 所以可以用极限来定义无理数指数. 已知无理数为无限不循环小数, 所以可以做出两个有理数数列来趋近这个无理数. 设\(x=\alpha\)是无理数, 我们取其前n位有效数字, 舍去剩下的小数得到的值为\(r_n\). 取其前\(n-1\)个有效数字加上第n个有效数字进位得到的值为\(s_n\). 称\(\{r_n\}\)为不足近似值数列, \(\{s_n\}\)为过剩近似值数列. 举个例子, 对于\(\pi\)来讲:

\[ \begin{align*} \{r_n\} &= \{3,\: 3.1,\: 3.14,\: 3.141,\: 3.1415\} \\ \{s_n\} &= \{4,\: 3.2,\: 3.15,\: 3.142,\: 3.1416\} \end{align*} \]

由这两个数列的定义可知\(\{r_n\}\)单调递增, \(\{s_n\}\)单调递减. 且\(\alpha = sup\{r_n\}=inf\{s_n\}\) (\(sup\)是上确界, \(inf\)是下确界). 易知\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{r_n} = \lim_{n \to +\infty}{s_n} = \alpha\), 则 \[\begin{equation}\lim_{n \to +\infty}{s_n - r_n} = 0 \end{equation}\]

下面只需要证明这两个极限\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} {a^{r_n}}\)和\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} {a^{s_n}}\)都存在且相等, 就可以用这个极限来定义一个实数的无理数指数了.

先假设\(a>1\), 由于我们要定义无理数指数使指数函数\(a^x\)在实数域上是个连续函数, 而已知这个指数函数当\(a>1\)时是个单调递增函数. 所以我们定义的无理数指数一定是使不等式\(a^{r_n} < a^\alpha < a^{s_n}\)成立. 由于单调有界数列必有极限. 所以这两个极限\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{a^{r_n}}\)和\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{a^{s_n}}\)都存在. 由下式可知

\[ \begin{equation} \displaystyle\frac{\lim_{n \to +\infty}{a^{s_n}}}{\lim_{n \to +\infty}{a^{r_n}}} = \lim_{n \to +\infty}{\frac{a^{s_n}}{a^{r_n}}} = \lim_{n \to +\infty}{a^{s_n-r_n}}=1 \end{equation} \]

对于\(0